定义 存在实数 AAA，∀ε>0,∃δ>0,0<∣x−a∣<δ\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0,0<|x-a|<\delta∀ε>0,∃δ>0,0<∣x−a∣<δ 时： ∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε 含...

高数第一弹 函数-实数集 高数第二弹 函数 高数第三弹 数列的极限

这种题的核心在于手玩和检验。 按照常规套路，对于一个置换，我们将其分割为若干个循环置换，求算有多少加边的方案使得其经过置换后仍然同构，即置换后的边 (pi,pj)(p_i,p_j)(pi​,pj​) 相连当且仅当原边 (i,j)(i,j)(i,j) 相连。 这样，我们就有两个讨论方向： i,ji,ji,j 同属于一个循环置换之内。 i,ji,ji,j 属于两个循环置换。 于是...

属于比较基础的那种题，但是需要特别注意翻转可以选择三条对称轴，一共三种。 这里我们采用 (循环置换大小)同大小循环置换的种类数(循环置换大小)^{同大小循环置换的种类数}(循环置换大小)同大小循环置换的种类数 来简易表示。 无高精度，只有 Python： 123456789101112n=input()s=(n*(n+1))/2t=(int)((n+1)/2)sizeG=6sumAll=0...

如何处理带限制的 Pólya 定理？（每种颜色 cic_ici​ 的数目固定为 SciS_{c_i}Sci​​） 如果每个环的大小一致为 sss，我们可以采取这样的方法： 若存在 Sc≢0(mods)S_c \not\equiv 0 \pmod sSc​​≡0(mods)，那么说明无法分配，方案数为 000。 若不存在上述问题，就是多重集的排列数问题，方案数为： (∑Sci/sS...

我们以一个经典的例题为例：立方体染色，三种颜色，求本质不同的方案数。 首先我们需要搞清楚什么是“本质不同”，它的意思就是得出的染色方案中，任意两个正方体不能通过旋转操作，使得它们相同。 这就需要我们搞清楚旋转的“表示方法”。 我们通过 置换 来表示一次旋转。有限集合到自身的双射（即一一对应）称为置换。集合 S={a1,a2,⋯ ,an}S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}S={a...

矩阵 系数矩阵和增广矩阵 将方程中未知数的系数形成的阵列称为方程组的系数矩阵，在系数矩阵的右端添加一列方程组的右端项，形成的矩阵称为方程组的增广矩阵。 矩阵的初等行运算 交换两行。 以非零实数乘以某行。 将某行替换为它与其他行的倍数之和。 严格三角形方程组 若方程组中，对于 k=1,2,⋯ ,nk =1,2, \cdots,nk=1,2,⋯,n，第 kkk 个方程的前 k−1k-1k−...

多项式的基本概念 多项式的度 多项式的乘法 多项式的逆元 若存在 g(x)g(x)g(x) 满足： f(x)g(x)≡1(modxn)f(x)g(x) \equiv 1 \pmod{x^n} f(x)g(x)≡1(modxn) 则称 g(x)g(x)g(x) 为 f(x)f(x)f(x) 在模 xnx^nxn 意义下的逆元，g(x)=f−1(x)g(x)=f^{-1}(x)g(x)=...

容斥原理 利用好： A‾∩B‾=A∪B‾\overline{A} \cap \overline{B}=\overline{A \cup B} A∩B=A∪B ∣A∩B∣=∣A∪B∣−∣A∣−∣B∣∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A\cap B|=|A \cup B|-|A|-|B|\\ |A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B| ∣A∩B∣=∣A∪B∣−∣A∣−∣...

不等式法 基本：均值不等式、柯西不等式。 均值不等式建立了变量的和与积之间的关系，柯西不等式建立了平方和与一次式之间的大小关系，也可以处理分式表达式的分母。 高数第一章讲的 A−GA-GA−G 不等式： A(average)=x1+x2+⋯+xnnG(geometry)=x1x2⋯xnnG≤AA(average)=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\\ G(geome...