基础知识 不定积分：找原函数的方法。 定积分：牛顿-莱布尼茨公式。 变上限函数：求导数。 二重积分：区间转化为平面。 三重积分：高斯积分。 第一类曲线积分 引例：质线的质量 设有一条平面质线，占有 xoyxoyxoy 平面上的曲线弧 CCC，在任一点 M(x,y)∈CM(x,y) \in CM(x,y)∈C 处的线密度为 ρ(x,y)∈C(D)\rho(x,y)\in C(D)ρ(x,y)...

1  没说驻点…… 反例：f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2f(x,y)=x2+y2，得到 fxx=2,fyy=2,fxy=0f_{xx}...

重积分的概念与性质 二重积分与三重积分的概念 二重积分 二重积分的概念。引入：平面薄片的质量。 分割，分割成 ΔDi\Delta D_{i}ΔDi​ 小区域，记小区域 ΔDi\Delta D_iΔDi​ 的面积为 Δσi\Delta \sigma_iΔσi​。 取值，任意取一点 (ξi,ηi)(\xi_i,\eta_i)(ξi​,ηi​)。得到质量 ΔMi≈ρ(ξi,ηi)Δσ...

点集知识 点之间的距离小于 δ\deltaδ。 内点/外点/边界点 若点 M∈EM\in EM∈E，且存在领域 U(M)U(M)U(M)，使得邻域内的点都属于 EEE，即 U(M)⊂EU(M) \sub EU(M)⊂E。 若点 M∉EM\notin EM∈/​E，且存在邻域 U(M)U(M)U(M)，使得邻域内的点都不属于 EEE。 对于任意一个邻域 U(M)U(M)U(M)，在此邻域中的...

捕鱼问题 捕捞强度系数 dNdt=−qN\frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}=-qN dtdN​=−qN 自然死亡率 dNdt=−rN\frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}=-rN dtdN​=−rN 初始条件 N(0)=N0N(0)=N_0 N(0)=N0​ 得到： N(t)=N(0)×e−(q+r)tN(t)=N(0)\times...

微分方程的概念 微分方程的阶数 导数的最高阶数。 通解，特解和定解条件 通解是包含 nnn 个独立常数的解，需要 nnn 个定解条件才能确定特解。 一阶微分方程 可分离变量的微分方程 齐次微分方程 y′=g(y/x)y'=g(y/x) y′=g(y/x) 令 u=y/xu=y/xu=y/x，得到： dug(u)−u=dxx\frac{\mathrm d u}{g(u)-...

狄利克雷函数 任意区间上不可积。 闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上的一致连续函数、分段连续函数和单调函数都是可积函数。 改变有限个单点函数值 破坏了连续性，但是积分性质不改变。挖掉一个点，积分性质也不改变。 x→∞x \to \inftyx→∞，积分值有极限的函数 这种函数说明 f(x)f(x)f(x) 不一定趋于 000，也可以不存在。 但是，如果存在的话，一定是 000...

点乘、叉乘 点乘： a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡(a,b)a\cdot b=|a||b|\cos(a,b) a⋅b=∣a∣∣b∣cos(a,b) 几何意义是 aaa 的长度和 bbb 在 aaa 上投影的乘积。 叉乘： a×b=∣a∣∣b∣sin⁡(a,b)a\times b=|a||b|\sin(a,b) a×b=∣a∣∣b∣sin(a,b) 几何意义绝对值是 a,ba,ba,b 所夹平...

线性微分方程-待定系数法 我们假设 fff 的泰勒级数表示是： f=a0+a1x+⋯anxnf=a_0+a_1x+\cdots a_n x^n f=a0​+a1​x+⋯an​xn 后面余项不要了。考虑表示为矩阵形式（ xix^ixi 系数到 aia_iai​ 的转移矩阵）则 fff 可以表示为 EiE_{i}Ei​。 求导操作就是乘一个矩阵 Di,i+1=iD_{i,i+1}=iDi,i+...

定义： ∫a+∞f(x)dx=lim⁡x→+∞∫axf(t)dt\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm d x=\lim_{x\to+\infty} \int_a^x f(t)\mathrm d t ∫a+∞​f(x)dx=x→+∞lim​∫ax​f(t)dt 若极限不存在则称其发散。 讨论： ∫a+∞dxxp\int_a^{+\infty} \frac{\mathrm ...