行列式以及相关的一些性质

这篇文章主要介绍了一些行列式的一些求法和其它定义中有关行列式的部分。

行列式按任意一行、任意一列定义

例如：

|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}

但是注意，我们不能抽出来一系列行标恰好为 $1,2\cdots,n$ ，但是列标不相同的数，然后用这些数定义行列式。类似的，我们也不能这样提取公因式。

按行定义和按列定义是相同的（归纳证明）

说明了什么？

归纳证明 $n$ 阶下三角矩阵和上三角矩阵的行列式值。

行列式的行和列的地位相等， $|A|=|A^T|$ 。

矩阵的某行/列乘以 $k$ ，行列式的值乘 $k$ 。（提取公因式）更进一步： $|\alpha A|=\alpha^n|A|$

行列式的某行的所有元素都是两个元素的和，则此行列式可以分解为两个行列式的和。（分配律）

交换两行/两列行列式变号

可以先归纳证明交换 $1,i$ ，会使行列式变号，然后交换 $i,j$ ( $i,j\not=1$ )相当于交换 $1,i$ 交换 $1,j$ 再交换 $1,i$ 。

说明了什么

行列式按照任意一行和任意一列定义都是相等的。

如果行列式的任意两行或者任意两列完全相同，那么行列式的值为 0。

更加深入地，我们可以证明：

\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = |A| \times \sigma(i,j)

行列式和空间图形的大小

可以把一行、一列看成一个 $n$ 维的向量，我们知道二阶行列式的值代表了两个向量夹的平行四边形的面积，三阶行列式的值代表了三个向量夹的平行六面体的体积。我们可以通过这些性质来逆推行列式的值的性质。

行列式的定义

我们计算平行四边形的面积时可以通过把一个向量投影到另一个向量上，计算垂足的长度，然后相乘。行列式的定义也是类似的道理，选择一个向量作为基准，其它的向量一起计算出一个值，然后相乘。

提取公因式和分配

也是一样的道理，类似于向量的分解和数乘之类的。

交换变号

类似于看这个图形的顺序不同，面积变号。

两行/列元素完全相同，行列式值为 0

相当于这个图形是“低一维的”，同理如果一个向量能够经过其它向量线性组合，这个图形也是低一维的，所以行列式值为 0。

为什么矩阵相乘的行列式值等于矩阵的行列式值相乘

如果把矩阵代表的空间图形看成一个点根据这个矩阵里面的向量组合可以到达的所有位置的集合，那么矩阵相乘有点类似于对这个点再次进行变换，然后最后的组合就是这个点可以到达的位置的集合，相当于用一个坐标表示 $(x,y),x\in s(A),y\in s(B)$ ，其中 $s(A)$ 代表 $A$ 矩阵限制的点的集合，最后这个范围是两者大小的乘积。

行列式的逆序对定义

D=\sum_{j_1,j_2,\cdots,j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}

为什么按行和按列的定义是等价的

能创造逆序对的只有这两个区域。

交换两行/列反号

交换 $i,j$ ，原来 $i$ 和 $(i,j)$ 组成的逆序对变成正序对，反之亦然，所以变换 $i$ 带来的影响是 $(-1)^{i-j-1}$ ，同理变换 $j$ 也是一样的影响，两者抵消，然而最终我们还是交换了 $i,j$ ，所以带来的影响是 $-1$ 。

可逆矩阵

为什么可逆矩阵是唯一的

已知 $BA=E=AB$ ，如果存在 $C\not=B$ ， $CA=E=AC$ ，那么：

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C

那么 $B=C$ 。

为什么矩阵可逆的条件是行列式不等于 0？

直观理解：行列式值为 0 $\Rightarrow$ 矩阵里有向量线性相关 $\Rightarrow$ 信息的冗余 $\Rightarrow$ 找不到逆矩阵。

我们可以增广矩阵求逆矩阵，对矩阵 $A$ 和 $E$ 进行同样的操作，当我们将 $A$ 变为 $E$ 时， $E$ 就变成了 $A^{-1}$ 。

或者，我们定义伴随矩阵 $A^*$ ：代数余子式转置得到的矩阵，其中两点关键，代数代表有符号，转置代表需要交换 i,j。

那么可以证明： $AA^{*}=A^{*}A=|A|E$ 。

那么可以说明 $A$ 可逆的充要条件是 $|A| \not= 0$ ，此时 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$ 。

可逆矩阵

之后我们可以推出： $|A^*|=|A|^{n-1}$ 。

$|A^{-1}|=|A^*|/|A|^n \Rightarrow |A^*||A|=|A|^{n}$ 。

如果 $|A|\not=0$ ，那么显然成立。

如果 $|A| = 0$ ，我们需证 $|A^*|=0$ 。

如果 $|A^*| \not=0$ ，根据可逆的定义， $A^*$ 存在可逆矩阵 $(A^*)^{-1}$ ，那么 $E=A^* (A^*)^{-1},A=AE=|A|(A^{*})^{-1}=O$ ，显然 $|A^{*}|=0$ ，矛盾。

注意，我们这里不能用 $A^{*}=|A|A^{-1}$ ，因为 $A^{-1}$ 不存在。

推论： $AB=E \text{ or } BA=E$ 推出 $A$ 可逆， $B=A^{-1}$ 。

如何算一个矩阵的逆：将这个矩阵表示为若干个可逆矩阵的乘积。

设 $n$ 阶矩阵 $A,B,A+B$ 均可逆，证明： $A^{-1}+B^{-1}$ 可逆，并求其逆。

$A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}BB^{-1}+A^{-1}AB^{-1}=A^{-1}(B+A)B^{-1}$ （类比为分数，这一步相当于通分的操作）

$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=B(B+A)^{-1}A$ 。

设 $n$ 阶矩阵 $A,B$ 可逆而且 $E+BA^{-1}$ 可逆，证明 $E+A^{-1}B$ 也可逆并给出 $(E+A^{-1}B)^{-1}$ 的表达式。

从分数的角度考虑，相当于知道 $1/A,1/B,1/(1+B/A)$ ，我们要求 $1/(1+1/A \times B)$ 。

这两个形式是很相近的，类似于通分，我们尝试把 $E$ 写成 $B^{-1} \times B$ 和 $A^{-1}\times A$ 。

$E+BA^{-1}=AA^{-1}+BA^{-1}=(A+B)A^{-1}$ ， $(E+BA^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}$

$E+A^{-1}B=A^{-1}A+A^{-1}B=A^{-1}(A+B)$ ， $(E+A^{-1}B)^{-1}=(A+B)^{-1}A=A^{-1}(E+BA^{-1})^{-1}A$

求行列式的方法

降阶法
化为上三角或者下三角行列式
递推方法

如果行和固定？

可能需要思考的问题

提升履带的抓地性（宿舍楼梯地板比较滑）
重心尽量低而且靠前，下楼的时候需要掉头，重心面朝下。希望载货的篮筐能尽量低一点，防止翻车。
转弯可能比较困难，而且把握不好角度，可能需要超声波模块，取对面距离的极小值点作为小车头摆直的依据
提升扭矩，可能需要齿轮组。p.s.不要求速度多快，只要求能上楼