级数

级数的概念与性质

定义 设数列 $\{u_n\}$ ，把和式 $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ 称为无穷级数，简称 级数。其中 $u_n$ 称为级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n$ 的 通项或者一般项，把 $\displaystyle S_n=\sum_{k=n}^\infin u_k$ 称为级数的部分和或者前 $\boldsymbol n$ 项和。

定义：级数收敛 如果极限 $\displaystyle\lim_{n \to \infin } S_n$ 存在，则称级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n$ 收敛，极限值 $S$ 称为级数的和。记作 $\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infin u_n$。如果极限不存在，称为发散。当级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n$ 收敛与 $S$，把 $\displaystyle r_n=\sum_{k=n+1}^\infin u_k=S-S_n$ 称为级数的余和，此时 $\displaystyle \lim_{n \to \infin} r_n=0$。


判断调和级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n}$ 的敛散性。

利用 $\ln(1+x)<x$，得到 $\frac{1}{n}>\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$。

得到发散。

判别级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin\arctan \frac{1}{2n^2}$ 的敛散性。

需要使用

$\arctan \frac{x_2-x_1}{1+x_2\cdot x_1}=\arctan x_2-\arctan x_1$

进行裂项。因此 $u_n=\arctan(2n+1)-\arctan(2n-1)$

$\lim_{n\to \infin} S_n=\lim_{n\to\infin} \arctan(2n+1)-\arctan 1=\frac{\pi}{4}$

另外的方法：使用 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin\arctan \frac{1}{2n^2}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin\frac{1}{2n^2}$ 有相同的敛散性。

判定级数 $\displaystyle \frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots+\frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}+\cdots$

可以进行列项，

$\frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}=\frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_{n-1})}-\frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}$

得到

$S_n=1-\frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}$

由于 $a_k>0$，所以 $S_n$ 单调递增，而且 $S_n<1$，因此极限单调有界，有极限。

性质

1. 级数的每一项乘以一个不为零的常数 $c$，得到的级数和原级数有相同的敛散性。

2. 如果 $\sum_{n=1}^\infin u_n,\sum_{n=1}^\infin v_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^\infin (u_n+v_n)$ 也收敛，而且 $\sum_{n=1}^\infin (u_n+v_n)=\sum_{n=1}^\infin u_n+\sum_{n=1}^\infin v_n$，但是反向结论不成立。

3. 将级数添加、去掉或者改变有限项，不改变极限的收敛性，但是可能改变级数收敛到的值。如果讨论级数的敛散性，直接写 $\sum u_n$，因为下界无所谓。

4. 收敛级数任意加括号组成的新级数仍然收敛，反之不然，例如 $\sum (1-1)$. 如果加括号之后组成的级数发散，则原级数一定发散。

   利用这个结论说明 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，加括号 $1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\frac{1}{2^{n-1}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}})$

5. 级数收敛的必要条件：如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n$ 收敛，则 $\displaystyle \lim_{n\to \infin} u_n=0$。

   推论：若 $\displaystyle \lim_{n\to \infin} u_n\not=0$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n$ 发散。


​ 判断级数 $\sum_{n=1}^\infin (-1)^{n-1}(1-\frac{1}{n})^n$ 的敛散性。得到 $\lim_{n\to \infin} |a_n|=\frac{1}{e}\not=0$。因此不收敛。

几何级数中的 $q$ 与 $n$ 无关。


正项级数及其敛散性判别法

常数项级数 当 $u_n$ 为常数时，级数 $\sum_{n=1}^\infin u_n$ 称为常数项级数。

正项级数 当 $a_n >0$ 时，级数 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 称为正项级数。正项级数的部分和单调递增。

收敛原理 正项级数 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 收敛的充分必要条件是部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界。（单增有上界的数列必然收敛）

有限项负项数列 若级数 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 满足 $\exists N>0$，使得当 $n>N$ 时，有 $a_n \ge 0$，那么级数 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 收敛的充要条件是 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 的部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界。

比较判别法

定理1，通过比较相对大小

如果正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n,\sum_{n=1}^\infin b_n$，满足条件 $0<a_n \le {\color{blue} c}\cdot b_n(n=1,2,\cdots)$，其中 $c>0$，则

1. 当 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n$ 发散，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infin b_n$ 发散。
2. 当 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infin b_n$ 收敛，级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infin a_n$ 收敛。

推论：$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n}$ 也可以推出条件。


结论： $p-$级数 $\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散。

可以通过广义积分是否趋于某个常数判断。

用积分得到不等式


利用

$\lim \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$

$\forall \varepsilon >0,\exists N$，当 $n>N$ 时，

$\left|\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\right| <\varepsilon$

因此

$\frac{1}{n}(1-\varepsilon) < \sin \frac{1}{n} < \frac{1}{n}(1+\varepsilon)$

对于 $\varepsilon_0=\frac{1}{2}$，得到

$\sin\frac{1}{n}>\frac{1}{2n}$

由于 $\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{2n}$ 发散，所以 $\sum_{n=1}^\infin \sin \frac{1}{n}$ 发散。

利用不等式 $\displaystyle \underbrace{\frac{1}{2\sqrt{n}}}_{a_n}< \underbrace{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}_{b_n}<\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2n+1}}}_{c_n}$ 证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$ 发散，而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}$ 收敛。

不等式可以使用比较相邻两项的比值推出：

$a_n/a_{n-1}=\sqrt{1-\frac{1}{n}},b_n/b_{n-1}=\frac{2n-1}{2n}$

泰勒展开，可以推出左小于右。

$b_n/b_{n-1}=\frac{2n-1}{2n},c_n/c_{n-1}=\sqrt{1-\frac{2}{2n+1}}$

可得左小于右。

$b_n>a_n \Rightarrow \sum b_n 发散\\ b_n/(2n-1)<c_n/(2n-1) \Rightarrow \sum b_n/(2n-1) 收敛$

比较判别法的极限形式

设 正项级数 $\sum_{n=1}^\infin a_n,\sum_{n=1}^\infin b_n$，满足 $\lim_{n\to \infin} \frac{b_n}{a_n}=l$，则

1. 当 $0<l<+\infin$ 时，级数 $\sum_{n=1}^\infin b_n$ 与 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 敛散性相同。
2. 当 $l=0$ 时，若级数 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^\infin b_n$ 也收敛。
3. 当 $l=+\infin$ 时，若级数 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 发散，则 $\sum_{n=1}^\infin b_n$ 也发散。

证明： $\forall \varepsilon >0,\exists N \in \Z^+$，当 $n>N$ 时，$(l-\varepsilon)a_n <b_n <(1+\varepsilon) a_n$。

当 $0<l<+\infin$ 时，取 $\varepsilon_0>0$，使得 $l-\varepsilon_0>0$，由比较判别法得到两个级数敛散性相同。




一般是和 $p-$级数比较，称为 $p-$判别法。

这个结论只能用于正项级数，反例是，考虑 $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}},v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}+(-1)^n}$，$u_n /v_n \to 1$，但是 $v_n$ 发散。

当 $\displaystyle \lim_{n \to \infin} \frac{a_n}{b_n}=0$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infin b_n$ 收敛 $\not\Rightarrow$ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 收敛。

$p-$判别法

设 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 是正项级数，且 $\lim_{n\to\infin} n^p \cdot a_n=l$，则

1. 当 $0\le l<+\infin$ 且 $p>1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 收敛；
2. 当 $0<l\le +\infin$ 且 $p\le 1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^\infin a_n$ 发散。

类比

设 $\lim_{x\to+\infty}x^pf(x)=l$，则 $f(x)$ 与 $1/x^p$ 同阶：

1. 当 $p>1$ 且 $0\le l <+\infty$ 时，$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ 收敛，是因为此时 $1/x^p$ 是收敛的。
2. 当 $p\le1$ 且 $0<l\le+\infty$ 时，$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ 发散，是因为此时 $1/x^p$ 是发散的。

关键是求出 $a_n$ 是 $n$ 的几阶无穷小，当然如果是 $\ln (n)$ 之类的，可以取 $1/n$ 比较，例如判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{\ln^2(n+1)}$ 的敛散性。

取 $b_n=\frac{1}{n}$，得到

$\lim_{n \to \infin} \frac{a_n}{b_n}=\infin$

而且 $\sum b_n$ 本身不收敛，因此 $a_n$ 不收敛。


证明两个级数一个收敛一个发散，求和是发散的。

用比较判别法或比较判别法的极限形式判别下列级数的敛散性：

$\sum_{n=1}^\infin \frac{a^n}{1+a^{2n}} (a>0)$

先进行变形：

$\frac{1}{a^{-n}+a^n}$

然后分类讨论

1. $a=1$，发散。
2. $0<a<1$，得到 $a^n \to 0$，因此原式 $<1/a^{-n}$，收敛。
3. $a>1$，得到 $a^{-n}\to0$，因此原式 $<1/a^n$，收敛。

设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 收敛，且 $a_{n+1} \le a_n(n=1,2,\cdots)$

证明

1. 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin n(a_n-a_{n+1})$ 收敛。

   首先，观察到这个式子是正项级数，把这个式子展开，得到 $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k-na_{n+1}\le \sum_{k=1}^n a_k$，因此 $\sum_{n=1}^\infin n(a_n-a_{n+1})$ 收敛。注意必须满足正项级数的条件，如果不是正项，反复横跳也可以发散。

2. $\displaystyle \lim_{n \to \infin } n a_n=0$

   由 $\lim_{n \to \infin} na_{n+1}$ 存在，得到 $\lim_{n \to \infin} na_n$ 存在？

   得到

   $\lim_{n \to \infin} \frac{a_n}{\frac{1}{n}}=l$

   由 $1/n$ 发散，$a_n$ 收敛得到 $l=0$。

比值判别法和根值判别法

仅仅依赖级数本身结构来进行判别。

比值判别法

设 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 为正项级数，且 $\displaystyle\lim _{n \to \infin} \frac{a_{n+1}}{a_n}=l$（或者 $+\infin$），则：

1. 当 $0\le l <1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 收敛。
2. 当 $1<l\le +\infin$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 发散。
3. 当 $l=1$ 时，不能确定，需要特殊讨论。例如 $a_n=1/n,a_n=1/n^2$。

设 $a>0$，试着讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{a^n n!}{n^n}$ 的敛散性。

讨论

$\lim_{n \to \infin} \frac{\frac{a^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{a^n n!}{n^n}}=\lim_{n \to \infin} \frac{a(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=\lim_{n\to \infin} \frac{a}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{a}{e}$

当 $a> e$ 时发散，$a<e$ 时收敛，那么 $\boldsymbol{a=e}$ 时如何，直觉是发散的，因为后面每个数近似一样。

正确证明是利用 $(1+\frac{1}{n})^n <e$，得到 $a_{n+1}>a_n>\cdots>a_1=e$。

另外的方法是应用 Stirling 公式：$\displaystyle n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n,n \to \infin$. $a=e$ 时，每一项近似 $\sqrt{2\pi n}$，因此发散。

根值判别法

设 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 为正项级数，且 $\displaystyle \lim_{n \to \infin} \sqrt[n]{a_n}=l$（或者 $+\infin$）

1. 当 $0\le l<1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 收敛；
2. 当 $1\le l\le +\infin$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 发散。

因为后面每一项近似看成 $a_n=l^n$，近似为一个等比数列。可以证明，如果满足比值条件，就可以满足根值条件。

试讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{n}{\left(a+\frac{1}{n}\right)^n}$ 的敛散性。

得到

$\lim_{n\to\infin} \sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{a}$

需要特别讨论 $a=1$ 的情况，由于

$a_n=\frac{n}{(1+\frac{1}{n})^n}\to \infin$

判定级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^\infin \frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n}$ 的敛散性。

$\lim_{n\to\infin} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \to \infin} \frac{e^{\ln ^2 n/n}}{\ln n}=0<1$

所以收敛。

若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{a^n}{n^s}(a>0,s>0)$ 收敛，则 $a$ 和 $s$ 的取值。

使用比值判别法必须讨论比值趋于 0 的情况。

$\lim_{n \to \infin} \frac{a_{n+1}}{a_n}=a \left(\frac{n}{n+1}\right)^s \to a$

当 $0<a<1$ 时必然收敛。

当 $a>1$ 必然发散。

当 $a=1$，代回原式得到 $p-$级数，因此此时 $s>1$.

积分判别法

设 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 为正项级数，若非负函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infin)$ 上 单调减少，且对 $\forall n \in \Z^+$，有 $a_n=f(n)$，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 与反常积分 $\displaystyle \int_1^\infin f(x)\mathrm d x$ 有相同的敛散性。

讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^\infin \frac{1}{n(\ln n)^q}$ 的敛散性，其中常数 $q>0$。

当 $\boldsymbol{q\not=1}$

$\int_2^{+\infin} \frac{\mathrm d x}{x(\ln x)^q}=\left.\frac{(\ln x)^{1-q}}{1-q}\right|_2^{+\infin}=\lim_{x \to +\infin} \frac{(\ln x)^{1-q}}{1-q}-\frac{(\ln 2)^{1-q}}{1-q}$

当 $0<q<1$，得到前面趋于 $+\infin$，发散。

当 $q>1$，得到前面趋于 $0$，收敛于 $\displaystyle \frac{(\ln 2)^{1-q}}{q-1}$。

当 $\boldsymbol{q=1}$

$\int_2^{+\infin} \frac{\mathrm d x}{x\ln x}=\left.\ln(\ln x)\right|_2^{+\infin}=+\infin$

发散。

注意：$\displaystyle a_n=\frac{1}{n\ln n}$ 是 $\dfrac{1}{n}$ 的高阶无穷小，但是 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 发散。


任意项级数敛散性的判别法

这里去掉一般项 $a_n \ge 0(n \in \Z^+)$ 的限制。但是，在某些条件下还是有 $\ge 0$ 的条件。

交错项级数敛散性的判别法

各项正负交错，即形如 $\displaystyle \pm \sum_{n=1}^\infin (-1)^{n-1} a_n (a_n >0)$ 的级数称为 交错级数。

Leibniz 判别法

若交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin (-1)^{n-1} a_n$ 满足：

1. $0<a_{n+1}\le a_n(n \in \Z^+)$；
2. $\lim_{n \to \infin} a_n=0$。

则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin (-1)^{n-1} a_n$ 收敛，且其余项级数满足 $\left|\displaystyle \sum_{k=n+1}^\infin (-1)^{k-1} a_k\right| \le a_{n+1}$。

三点条件：$\boldsymbol{a_n>0,a_{n+1}\le a_n, \lim}$ 如果不满足 $>0$ 的条件，可以全部取负号。

判别 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infin (-1)^{n-1} \left(\sin \frac{1}{n}-\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性。

令 $f(x)=\sin x-x$，则 $f'(x)=\cos x-1\ge 0$，所以 $a_{n+1} \le a_{n}$，而且 $a_n \to 0$，因此满足 Leibniz 判别法的条件，收敛。


含有扰动项的处理方法，例如 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin (-1)^{n-1}\frac{1}{n+(-1)^{n-1}}$。

是不满足 Leibniz 判别法的条件的，这里我们分母凑成平方项：

$\sum_{n=1}^\infin (-1)^{n-1} \frac{n-(-1)^{n-1}}{n^2-1}=\sum_{n=1}^\infin (-1)^{n-1} \frac{n}{n^2-1} - \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2-1}$

因此收敛。

Abel 判别法和 Dirichlet 判别法

若数列 $\{u_n\}$ 单调且有界，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin v_n$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n v_n$ 收敛。

若数列 $\{u_n\}$ 单调且 $\lim_{n \to \infin} u_n =0$，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin v_n$ 的部分和数列有界，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_nv_n$ 收敛。

绝对收敛和条件收敛

设 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 是任意项级数，若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin |a_n|$ 收敛，则称级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 绝对收敛；若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin |a_n|$ 发散而 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 收敛，则称级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 条件收敛。

定理 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 必收敛。

证明：由于 $0\le a_n + |a_n| \le 2 |a_n|$，所以级数

$\sum_{n=1}^n a_n=\sum_{n=1}^\infin [(a_n+|a_n|)-|a_n|]$

收敛。

定理 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 绝对收敛，那么任意交换其各项的次序所得到的级数依然绝对收敛，且其和不变。反之如果级数只是收敛，交换次序得到的级数不一定收敛，比如交错级数

$\sum_{n=1}^\infin (-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}$

定理 (Cauchy) 设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n,\sum_{n=1}^\infin b_n$ 收敛于 $S,T$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \sum_{m=1}^\infin a_n b_m$ 收敛于 $ST$（分配率）

判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{\sin n}{n^2}$ 的敛散性。（相似 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{(-1)^{n-1}}{n}\sin\frac{\pi}{n}$）

$\sum_{n=1}^\infin \frac{|\sin n|}{n^2} \le \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2}$

绝对收敛，因此收敛。

判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin (-1)^n \frac{1}{\ln (n+1)}$ 的敛散性。（相似 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin (-1)^n \frac{\ln n}{n}$）

可以用 Leibniz 判别法判别收敛，但是看看是否绝对收敛：

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{\ln (n+1)} \ge \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n}$

因此 $\sum |a_n|$ 发散，绝对收敛不成立。这时 $a_n$ 条件收敛。因此，收敛不一定绝对收敛。

【例题13】证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 条件收敛。
证明: 设 $\displaystyle u_n=\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\frac{1}{\sqrt{n}}$, 记 $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{n}}$,
当 $x>0$ 时， $f(x)=\mathrm{e}^x-1-x>0$, 所以 $\displaystyle u_n=f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)>0$,
由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}$,
因此级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 发散。

拉比判别法

对于任意级数 $\sum_{n=1}^\infin a_n$，如果存在 $r>1,n_0\in \N^+$，使得当 $n>n_0$ 时，有 $\displaystyle n\left(\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|-1\right)\ge r$，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 绝对收敛。

设 $a_n>0,\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}>1-\frac{1}{n},\forall n \in \N$，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n$ 发散。

直接使用 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_2} > \frac{1}{n}$，从而原级数发散。

重排、括号敛散性判断

重排

绝对收敛可以任意重排，保证敛散性不变，且收敛到相同的数。

条件收敛重排后，可以收敛到任意数或者到 $\pm \infin$.

括号

正项级数可以任意加括号，保证敛散性不变。

收敛级数可以任意加括号，保证敛散性不变。

函数项级数及其敛散性

设函数列 $\{u_n(x)\} \ (n=1,2,\cdots)$ （每一项都是函数）在实数集合（一般为区间）$\boldsymbol X$ 上有定义，则和式 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n(x)$ 称为 函数项级数。若数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n(x_0)\ (x_0 \in \boldsymbol X)$ 收敛，则称 $x_0$ 是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n (x)$ 的 收敛点，否则称为 发散点。函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n(x)$ 的全体收敛点组成的集合 $I$ 称为 收敛域。

对于收敛域 $I$ 中的每一点 $x$，记 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin u_n(x)$ 的和为 $S(x)$，即

$S(x)=\sum_{n=1}^\infin u_n(x)\quad (x\in I)$

称为 和函数。

又记

$S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k (x),r_n (x)=\sum_{k=n+1}^\infin u_k(x)$

分别称为 部分和 和 余和。


两个端点比较重要


**【思考题】**求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin \frac{x^n}{1+x^{2n}}$ 的收敛域。

根值判别法。发散点是 $1,-1$.

幂级数

其一般项函数都是幂函数。

幂级数及收敛半径

定义 设 $x_0$ 是一个定数，形如

$\sum_{n=0}^\infin a_n (x-x_0)^n =a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots$

的函数项级数称为 $x-x_0$ 的幂级数，简称 幂级数，其中 $a_0,a_1,a_2,\cdots$ 称为幂级数的系数。

若令 $y=x-x_0$，则上述幂级数可以化为

$\sum_{n=0}^\infin a_n y^n =a_0+a_1y+a_2 y^2+\cdots$

因此只需要讨论 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infin a_n y^n$ 的相关性质。

Abel 定理 对于幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infin a_n x^n$，有以下结论：

1. 若 $x=x_0\ (x_0\not=0)$ 是其收敛点，那么当 $|x|<|x_0|$ 时，$\displaystyle \sum_{n=0}^\infin a_n x^n$ 绝对收敛；
2. 若 $x=x_1$ 是其发散点，那么当 $|x|>|x_1|$ 时，$\displaystyle \sum_{n=0}^\infin a_n x^n$ 发散。

记为：发散点外面也是发散点，收敛点里面也是收敛点。


推论 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infin a_n x^n$ 的收敛域仅有以下三种可能情形：

1. 仅在 $x=0$ 收敛（必然在 $x=0$ 收敛）；
2. 在以原点为中心、长度为 $2R(R>0)$ 的区间 $(-R,R)$ 内绝对收敛，而在 $|x|>R$ 时发散，注：没说 $x=R,-R$ 的情况，可能收敛也可能发散；
3. 在 $(-\infin,+\infin)$ 内收敛。

证明：考虑收敛点集的上界。

如果存在一个正数 $R$，满足当 $|x|<R$ 时，幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n x^n$ 绝对收敛；当 $|x|>R$ 时，幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infin a_n x^n$ 发散，则称 $R$ 为幂级数的 收敛半径。把 $(-R,R)$ 称为幂级数的 收敛区间。（和收敛域不同）条件收敛点一定在边界。

$R=0$ 表示仅仅在 $x=0$ 收敛。



其中还有一个问题，如何判断 $x>R_2$ 的敛散性，利用 Abel 定理即可。

接下来，利用比值判别法给出幂级数的收敛半径公式。

系数模比值法

系数模比值法 对于幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infin a_n x^n$,若：

$\lim_{n \to \infin} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\rho（或+\infin）$

则其收敛半径：

$R=\left\{ \begin{aligned} &0&\rho=+\infin,\\ &\frac{1}{\rho}&0<\rho<+\infin,\\ &+\infin&\rho=0. \end{aligned} \right.$

简单理解，需要 $x=1/\rho$ 才能抵消影响。因此为收敛半径。


做题步骤：

1. 确定收敛半径 $R$.
2. 讨论端点。

求下列幂级数的收敛域：

$\sum_{n=1}^\infin (-1)^n \frac{x^n}{n}$

由于

$\lim_{n \to \infin} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \to \infin} \frac{n}{n+1}=1$

得到收敛半径为 $1$，需要 讨论 $\boldsymbol{R=\pm 1}$：

$R=1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infin \frac{(-1)^n}{n}\Rightarrow收敛\\ R=-1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n} \Rightarrow 发散$

因此，收敛域为 $(-1,1]$。

$1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}+\frac{x^3}{6!}+\cdots$

$\lim_{n \to \infin} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \to \infin} \frac{\frac{1}{(2(n+1))!}}{\frac{1}{(2n)!}}=0$

因此，收敛域为 $(-\infin,\infin)$。可以看出来是指数函数的形式罢！

$\sum_{n=1}^\infin \frac{2^{\ln n} x^n}{n}$

$\lim_{n \to \infin}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \to \infin} \frac{(n+1)^{\ln 2}n}{n^{\ln 2}(n+1)}=\lim_{n \to \infin} \frac{(n+1)^{\ln 2-1}}{n^{\ln 2-1}}\to 1$

然后再讨论 $R=1,-1$ 的情况。

$R=1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infin \frac{2^{\ln n}}{n}=\sum_{n=1}^\infin n^{\ln 2-1}\quad p=-\ln 2+1 \le 1，发散\\ R=-1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infin n^{\ln 2-1} (-1)^n 收敛$

求幂级数

$\sum_{n=0}^\infin \frac{(x-1)^n}{2^n\sqrt{n+1}}$

的收敛域。

首先观察到中心为 $1$，再计算极限：

$\sum_{n=0}^\infin \frac{2^n\sqrt{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{n+2}}=\frac{1}{2}$

收敛半径为 $2$，因此，计算

$x=3 \Rightarrow \sum_{n=0}^\infin \frac{1}{\sqrt{n+1}} 发散\\ x=-1\Rightarrow \sum_{n=0}^\infin \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} 收敛$

因此收敛域为 $[-1,3)$.

非标准型幂级数：

$\sum_{n=1}^\infin \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot x^{2n}$

方法1：变量替换；方法2：转化为比值判别法。



系数模根值法

系数模根值法 对幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infin a_n x^n$，若

$\lim_{n \to \infin} \sqrt[n]{|a_n|}=\rho(或+\infin)$

则其收敛域半径为：

$R=\left\{ \begin{aligned} &0&\rho=+\infin,\\ &\frac{1}{\rho}&0<\rho<+\infin,\\ &+\infin&\rho=0. \end{aligned} \right.$

幂级数的分析性质

连续性定理 若幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infin a_n x^n$ 的收敛半径 $R>0$，则其和函数 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^\infin a_n x^n$ 在 $(-R,R)$ 内连续；若 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infin a_n x^n$ 在 $x=R$（或 $-R$）收敛，则和函数在 $x=R$（或 $-R$）左（右）连续。（向收敛区间里连续）