积分不等式

积分不等式的常见处理方法：

设函数 $f \in R[a,b],f(x)\ge 0$ ，则 $\int _{a}^b f(x) \mathrm{d} x \ge 0$ 。

f(x)\in C[0,1],\downarrow,\forall \alpha\in[0,1],\\ \int_0^\alpha f(x)\mathrm d x \ge \alpha \int_0^1 f(x)\mathrm d x

也可以利用其反向的结论：如果 $f \in C[a,b], f(x) \ge 0$ ，则

\int_{a}^b f(x) \mathrm{d} x =0 \Leftrightarrow f(x) \equiv 0, x\in [a,b]

如果要 $f(x)\equiv0$ 但是没有 $f(x)\ge0$ 的条件，需要构造 $f^2(x)$ 。

m(b-a) \le \int _{a}^b f(x) \mathrm{d} x \le M(b-a)

利用矩形的拟合。

|\int _a^b f(x)\mathrm{d}x| \le \int_{a}^b |f(x)|\mathrm{d} x

如果 $f(x) >0,f''(x)>0$ ，则

\frac{f(a)+f(b)}{2} \ge \frac{\int_{a}^b f(x) \mathrm{d} x}{b-a}

如果 $f \in C[a,b]$ ，而且 $g$ 在 $f$ 的值域上连续而且下凸，则：

g(\bar f|_a^b ) \le \overline{g \circ f}|_a^b

外门邪道的方法， $f(x)$ 下凸， $x^3$ 上凸，对靠近 $1$ 的地方比重较大，则远离 $1$ 的 $1/4$ 应该小于 0。

正经的方法，可能只差一步：

\overline{f(x^3)}_0^1 \ge f(\overline{x^3}|_0^1)=f(1/4)

若 $f,g \in R[a,b]$ ，则：

(\int _{a}^b f(x)g(x) \mathrm{d} x)^2 \le \int_{a}^b f^2 (x) \mathrm{d} x \cdot \int_{a}^b g^2(x) \mathrm{d}x

关键点：两边 $x=1$ 的时候都是 $0$ ，变得有点像高中导数题那样。（题目只要求一个取值范围，其实猜也好猜，另外，前面那个积分当 $x \to +\infty$ 收敛至 $\pi/2$ ）

不等和等于都可能用到，可以一起讲。

中点展开：

\int_b^a f(x)\mathrm d x=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}