狭义相对论

经典力学的困难

在 $S$ 系中空间各点放置无穷系列的时钟，这些时钟与该惯性系保持相对静止、彼此同步。一个事件的时空坐标 $(x,y,z,t)$ 由该事件发生的地点及该处的时钟记录下来。

同时性和时间间隔的绝对性

同时性

$t_2=t_1$, $t_2'=t_1'$.

时间间隔

$\Delta t=t_2-t_1\\ \Delta t'=t_2'-t_1'=\Delta t$

空间间隔的绝对性

在 $S$ 系中 $P_1:(x_1,y_1,t_1)$，$P_2:(x_2,y_2,t_2)$ 推出 $L=x_2-x_1$。（同时测量）

在 $S'$ 系中 $P_1:(x_1',y_1',t_1')$，$P_2:(x_2',y_2',t_2')$。

得到 $L'=x_2'-x_1'=(x_2-ut_2)-(x_1-ut_1)=x_2-x_1$.

牛顿：时间和空间是与物质的存在和 运动 无关的，是绝对不变的。考虑物体的运动，得出了 狭义相对论 Special Relativity。

牛顿的绝对时空观

$\left\{ \begin{matrix} x_2'-x_1'=x_2-x_1\\ t_2'-t_1'=t_2-t_1\\ \end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix} v_x'=v_x-u\\ v_y'=v_y\\ v_z'=v_z \end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix} a_x'=a_x-\dfrac{\mathrm d u}{\mathrm d t}\\ a_y'=a_y\\ a_z'=a_z \end{matrix} \right.$

宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同。力学的基本运动规律在所有惯性系中可以表示为相同形式。

伽利略变换的局限性

一维电磁波动方程：

$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\Phi(x,t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Phi(x,t)=0$

利用 $x'=x-ut$ 进行变换，发现形式上不相同。

$\frac{\partial^2}{\partial x'^2}\Phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t'^2} \Phi+\frac{2u}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial x '\partial t'}-\frac{u^2}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial x'^2}\Phi=0$

光速是否符合伽利略速度变换。

掷球实验

$t=t_{10}=0$ 时刻 A 加速球，$t=t_1$ 时刻球出手。

$t=t_{20}=L/c$ 时刻，B 看到 A 开始投球的动作。$t=t_2=t_1+L/(c+u)$ 时刻，B 看到球离开 A 手的情况。

但是如果 $L$ 很大，得到 $L/c>t_1+L/(c+u)$，因果律被破坏。

狭义相对论的基本假设

1. 狭义相对性原理：一切物理规律在任何惯性系中形式相同。
2. 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速相同为 $c$，与光源和观测者的运动无关。

狭义相对论的时空观

同时性的相对性

$S$ 地面参考系。在火车上 $A',B'$ 放置信号接收器

时间间隔的相对性

相对于 $S'$ 系静止：

$\Delta t_0'=\frac{2d}{c}$

$\Delta t_0'$ 称为固有时或者本征时。

如果在 $S$ 系中观察，得到

$l=\sqrt{d^2+\left(\frac{u\Delta t}{2}\right)^2}\\ \Rightarrow \Delta t =\frac{2d}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{\Delta t_0'}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

洛伦兹长度收缩

如果在 $S$ 系中尺的长度是 $L$，那么在 $S'$ 系中的观测者测量为

$L'=L\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$



宇宙射线进入大气层时与大气微粒碰撞形成 $\mu^-$ 介子。

如果没有时间膨胀：

$s_0=u\tau\approx644\mathrm{~m}$

时间膨胀：

$\Delta t=\frac{\tau}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

$s=u\Delta t\approx 1.02\times 10^4\mathrm{~m}$

如果在 $\mu^-$ 子上看：大气层的厚度变短了。尺缩效应。

长度收缩佯谬

洛伦兹变换

设有两个惯性参考系 $S$ 和 $S'$，$x$ 轴和 $x'$ 轴方向相同而且重合，$S'$ 系相对于 $S$ 系以速度 $\boldsymbol u$ 沿 $x$ 轴正方向运动。两个惯性系分别有自己的计时系统。

在 $x$ 方向上考虑到 $x'$ 对参考系 $S$ 是 动长，故在 $S$ 系中测得 $P$ 点的坐标：

$x=ut+x'\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$

解得

$x'=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\gamma(x-ut)$

在 $S'$ 系中测量 $x'$。

$x'=-ut'+\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}x$

得到

$x=\gamma(x'+ut')$

解得：

$t=\gamma\left(t'+\frac{u}{c^2}x'\right)$

坐标变换式：

$\left\{ \begin{aligned} &x'=\gamma(x-ut)\\ &y'=y\\ &z'=z\\ &t'=\gamma\left(t-ux/c^2\right) \end{aligned} \right.$

当 $u\ll c$，得到 $\gamma \to 1$。伽利略变换。


时间变换：

$t_2=\gamma(t_2'+ux_2'/c^2)\\ t_1=\gamma(t_1'+ux_1'/c^2)$

$\Delta t=t_2-t_1=\gamma(\Delta t'+u\Delta x'/c^2)$

因此只有两个事件在同时同地点发生，在所有参考系来看才是同时的。

洛伦兹速度变换

利用

$v_x'=\frac{\mathrm d x'}{\mathrm d t'}=\frac{\mathrm d x'}{\mathrm d t}\cdot \frac{\mathrm d t}{\mathrm d t'}$


时空间隔不变性

定义四维空间间隔 $(\Delta s)^2$

$(\Delta s^2) \equiv c^2 \Delta t^2-[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2]$

当其中的一个事件为 $(0,0,0,0)$ 时。

$\begin{aligned} (\Delta s)^2 & =c^2(\Delta t)^2-\left[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2\right] \\ & =c^2\left[\gamma\left(\Delta t^{\prime}+\frac{u}{c^2} \Delta x^{\prime}\right)\right]^2-\left[\gamma^2\left(\Delta x^{\prime}+u \Delta t^{\prime}\right)^2+\left(\Delta y^{\prime}\right)^2+\left(\Delta z^{\prime}\right)^2\right]\\ &=(\Delta s')^2 \end{aligned}$


相对论质量和动量

动量守恒在洛伦兹变换下保持不变。

$\boldsymbol p=m\boldsymbol v$

实验表明：


相对论动量：

$\boldsymbol p=m(v)\boldsymbol v=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\boldsymbol v$

相对论动力学方程

力定义为：

$\boldsymbol F=\frac{\mathrm d \boldsymbol p}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\left(\frac{m_0\boldsymbol v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)$

当 $F$ 为恒力 $F_0$，得到

$\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2} \frac{F_0}{m_0}$

当 $v \to c$ 时，得到 $\mathrm d v/\mathrm d t$ 趋于 0.

相对论能量 质能关系

相对论动能

$E_\mathrm k=\underbrace{mc^2}_{运动能量}-\underbrace{m_0c^2}_{静止能量}$


从形式上，相对论动能表达式和经典力学表达式完全不同，但是在 $v \ll c$ 情况下：

$E_k=\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0c^2=\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}+\cdots\right)-m_0c^2\approx \frac{1}{2}m_0v^2$

利用上述表达式解出 $v$，得到

$v=c\left[1-\left(1+\frac{E_k}{m_0c^2}\right)^{-2}\right]^{1/2}$

相对论总能量

$\underbrace{mc^2}_{总能量:=E}=\underbrace{E_k}_{相对论动能}+\underbrace{m_0c^2}_{静止能量}$

相对论动量能量关系

由

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

平方之后可得：

$m^2c^2=m_0^2 c^2+m^2 v^2$

同乘 $c^2$，得到

$m^2 c^4=m_0^2 c^4+m^2 v^2 c^2$

以 $p=mv,E=mc^2$ 取代：

$E^2=m_0^2 c^4 +p^2 c^2$

对于光子，静质量为 0，上式变为：$E=pc$。



粒子的速率：由 相对论动能

$E_\mathrm k=mc^2-m_0c^2=nm_0c^2$

得到

$m=(n+1)m_0c^2=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

得到 $v=c\sqrt{1-\frac{1}{(n+1)^2}}$。

相对论动量 $p=m_0v/\sqrt{1-v^2/c^2}=\sqrt{n^2+2n}m_0c$。

习题

12-9


$S$ 系就是站在 $B$ 上看 $B$。在 $S$ 系中，利用洛伦兹速度逆变换：

$v_x=\frac{v_x'+u}{1+\frac{u}{c^2}v_x'}$

代入 $v_x'=u$，得到

$v_x=\frac{2uc^2}{c^2+u^2}$

粒子分裂为相等的两半，代表一开始 静止质量 相等。在 $S$ 系中测 $B$ 的速度为 $0$，质量为 $m_0$

$m_B=m_0\\ m_B=m_0 /\sqrt{1-v_x^2/c^2}=\frac{c^2+u^2}{c^2-u^2}m_0$

12-6


$B$ 钟的读数：$\Delta x/v$。在 $S'$ 系中，看到 $S$ 系以 $v$ 的速度向左运动，因此由尺缩效应，得到

$\Delta x'=\Delta x \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

读数是：

$\frac{\Delta x}{v}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

虽然运动是相对的，但是长度也有所变化。

19-7



1. combined
2. despite a sufficient availability
3. malnutrition 营养不良 mal前缀是“不好、不良”的意思。
4. undernourished people in developing countries
5. purchase
6. lack social safety nets
7. that do not encourage investment
8. eliminate
9. thanks in part to the efforts of numerous international and transnational institutions, foundations, NGOs and governments
10. we still have a long way to go before we can safely say that no child goes to bed hungry most nights