微分方程的一些换元技巧

二阶微分方程通解要求：两个积分常数，且组合部分线性无关

这就需要我们把 $y'$ 换成 $dy/dx$ 。

求解：

xy'+y=y(\ln x+\ln y)

观察到 $xy'+y=(xy)'$ ，令 $u=xy$ 。

xy'+x+\cos(x+y)=0

令 $u=x+y$ ，则 $y'=u'-1$ 。另外，方程变形时要求 $\cos(x+y)\not=0$ ，但是这也是符合条件的解，于是需要加上。

xy'=\sqrt{x^2+y^2}+y

x^2y'+xy=y^2

(x+3y^2)y'=y

第一是看到好多 $y$ 。换元 $z=x/y$ ，则 $dx/dy=z+ydz/dy$ ，得到 $z=3y+C$ 。

也可以凑微分，直接得到 $d(x/y)=3dy$ 。

y'=\frac{y}{2x-y^2}

y''=(y')^3+y'

y_2=y_1\int\frac{1}{y_1^2}e^{-\int p(x)\mathrm d x}\mathrm d x

$e^{2x}$ 是微分方程 $(1-x)y''+2xy'-4y=0$ 的解，求通解。

C_1e^{2x}+C_2(2x^2-2x+1)