向量代数

点乘、叉乘

点乘：

$a\cdot b=|a||b|\cos(a,b)$

几何意义是 $a$ 的长度和 $b$ 在 $a$ 上投影的乘积。

叉乘：

$a\times b=|a||b|\sin(a,b)$

几何意义绝对值是 $a,b$ 所夹平行四边形的面积。推出 $a\times a =0,a\times b=|a||b|$ 当 $a,b$ 正交。

点乘和叉乘都具有分配律，但是叉乘不具有结合律，而且叉乘是反交换律。

三角形面积：

$\frac{1}{2}||r_1\times r_2+r_2\times r_3+r_3\times r_1||$

叉乘计算可以看做分块矩阵：

$(|v_2,v_3|,|v_3,v_1|,|v_1,v_2|)$

组合积

$[a,b,c]=(a\times b)\cdot c$

交换一次符号相反，所以正负和逆序对奇偶性有关。几何意义是平行六面体。四面体的体积是平行六面体体积/6。

平面方程

点法式方程

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

平面的一般式方程

$Ax+By+Cz=D$

可以表示为增广矩阵 $[A\ B\ C|D]$。这表明平面的自由变量为 $4$。

特殊平面

过 $Ox$ 轴的平面，代表 $x$ 任取，可以设为 $By+Cz=0$。

平面的标准式方程

需要知道经过的一个点和平行的两个向量。

直线方程

参数式方程

$x=x_0+tm,y=y_0+tn,z=z_0+tp$

向量式方程

$\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{s}$

一条直线可以由两个三维向量表示。

标准式方程

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

平面束方程

$\begin{bmatrix} k & l \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 &B_1 &C_1 &D_1\\ A_2 &B_2 &C_2 &D_2\\ \end{bmatrix}$

表示经过两个平面交线的所有平面。

一般式方程化为标准式方程

$\begin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}D_1\\D_2\end{bmatrix}$

如果只是求方向向量，可以转化为齐次方程的基础解系，也可以利用 $v//(Nvec(\pi_1) \times Nvec(\pi_2))$。其中 $Nvec$ 代表一个平面的法向量。

点到平面距离

$d(P_0,\pi)=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{P_1P_0}|}{|\vec{n}|}=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

平面与平面的夹角

$\pi_1$ 法向量为 $\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$，$\pi_2$ 法向量为 $\vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$。

则夹角：

$\theta=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$

直线与直线的距离

假设两点 $A=P_1+\lambda V_1(l_1上),B=P_2+\mu V_2(l_2上)$，则满足

$\begin{bmatrix} V_0\\V_1 \end{bmatrix}(A-B)^T=0$

得到 $A-B=P_0+\gamma V_0$，是一个基础解系的形式。现在问题是解出 $\lambda,\mu,\gamma$，可以得到：

$[\gamma\ \lambda\ \mu]\begin{bmatrix}-V_0\\V_1\\-V_2\end{bmatrix}=P_0-P_1+P_2$

于是只要矩阵求逆即可。解出 $\lambda,\mu$ 之后，就可以得到 $A-B$，其长度是直线与直线的距离。

然而，矩阵一定可逆吗，当两直线平行时，矩阵的秩是 $2$，当两直线重合时，矩阵的秩是 $1$。（猜的）