动量

动量定理 动量守恒定律

$\boldsymbol p=m\boldsymbol v \quad \boldsymbol p=M\boldsymbol v_c$

牛顿第二定律：

$\boldsymbol F = \frac{\mathrm d (m \boldsymbol v)}{\mathrm d t} \Rightarrow \boldsymbol F =m \frac{\mathrm d \boldsymbol v}{\mathrm d t}=m\boldsymbol a$

恒力的冲量：$\boldsymbol I = \boldsymbol F (t_2-t_1)$。

变力的冲量：$\boldsymbol I = \int_{t_0}^t \boldsymbol F \cdot \mathrm d t$。（是否可行）

因此，质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。质点动量定理

$\boxed{\boldsymbol I=\int_0^t \boldsymbol F \mathrm d t=\boldsymbol p -\boldsymbol p_o=m\boldsymbol v-m\boldsymbol v_0}$

冲击、碰撞问题中估算 平均冲力。

作用时间短，变化复杂，无法通过力计算冲量。

$\overline{\boldsymbol F} = \frac{\boldsymbol I}{\Delta t}=\frac{1}{t-t_0} \int_{t_0}^t \boldsymbol F \cdot \mathrm d t= \frac{\boldsymbol p -\boldsymbol p_0}{t-t_0}$

适用于 惯性系，在非惯性系中，只有添加惯性力的冲量后才成立。


$\sum N \Delta t = mv_1 \sin \theta \quad -\sum \mu N \Delta t =mv_2 -mv_1 \cos \theta$

遇到斜面的问题，还要注意运动方向的改变，如果只用分析水平方向的动量守恒，也要注意水平方向分速度的改变。


需要注意不要忘了重力。

动量守恒定律

当 $\sum F_i=0$ 时，$\boldsymbol p=\sum m_i\boldsymbol v_i=const$.

质量为 $M$ 的平板车开始时静止于光滑直轨道上，车上 $n$ 个质量均为 $m$ 的人相对车以速度 $u$ 向后跳离。

1. 若所有人同时跳离，平板车的最终速度为多少？

   根据动量守恒定律（一开始动量为0，则改变状态后动量为0）

   $0=Mv+nm(-u+v) \Rightarrow v=\frac{nmu}{M+nm}$

2. 若一个一个地跳离，平板车的最终速度又为多少？

   第一个人跳离时，有：

   $0=[M+(n-1)m]v_1+m(-u+v_1) \Rightarrow v_1=\frac{mu}{M+nm}$

   第二个人跳离时，有：

   $[M+(n-1)m]v_1=[M+(n-2)m]v_2+m(-u+v_2) \Rightarrow v_2-v_1=\frac{mu}{M+(n-1)m}$

   第三个人跳离时，有：

   $[M+(n-2)m]v_2=[M+(n-3)m]v_3+m(-u+v_3) \Rightarrow v_3-v_2=\frac{mu}{M+(n-2)m}$

   因此

   $v_n=\sum_{k=1}^n \frac{m}{M+km}>\frac{nm}{M+nm}$

   启发：求出 $v_i$ 不好处理，可以考虑差分的形式，当然也可以归纳得出。

质点系动量

设有 $N$ 个质点构成一个系统，第 $i$ 个质点的质量为 $m_i$，内力 $\boldsymbol f_i$，外力 $\boldsymbol F_i$，初速度 $\boldsymbol v_{i0}$，末速度 $\boldsymbol v_i$。

由质点动量定理：

$\int_{t_0}^t (\boldsymbol F_i + \boldsymbol f_i)\mathrm d t=m_i\boldsymbol v_i - m_i \boldsymbol v_{i0}$

一对内力做功不一定为 0。

其中 $\sum \boldsymbol f_i=0$。

因此

$\boxed{\int_{t_0}^t \sum \boldsymbol F_i \mathrm d t=\boldsymbol p-\boldsymbol p_0=\Delta \boldsymbol p}$

微分式：

$\sum \boldsymbol F_i = \frac{\mathrm d \boldsymbol p}{\mathrm d t}$

形式上，与单个质点动量定理相同，但内涵有差别。

当 $\sum \boldsymbol F_i=0$，$\boldsymbol p = \sum m_i \boldsymbol v_i$ 为常量。

1. 动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个质点的动量可以变化, 通过内力进行传递和交换。
2. 当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）

质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的小孩在光滑的平面上彼此拉对方。设开始时静止，相距 $l$。问他们在何处相遇？

$m_1\boldsymbol v_1 + m_2 \boldsymbol v_2=0$

不能写作 $m_1v_1=m_2v_2$。

在任意时刻

$x_1= x_{10}+\int_0^t v_1 \mathrm d t \quad x_2=x_{20}+\int_0^t v_2 \mathrm d t\\ x_{20}-x_{10}=\int_0^t \left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)v_1 \mathrm d t\\ l=\int_0^t \left(1+\frac{m_1}{m_2}\right)v_1 \mathrm d t\\ x=x_1=x_{10}+\int_0^t v_1\mathrm d t=\frac{m_1x_{10}+m_2x_{20}}{m_1+m_2}$

以质量为权重的位置。

炮车的质量为 $M$，炮弹的质量为 $m$。若炮车与地面之间有摩擦，摩擦系数为 $\mu$，炮弹相对炮身的速度为 $u$，求炮身相对地面的反冲速度 $v$。

对系统分析

在 $\tau$ 的时间内，

$\int_0^\tau \sum F_i \mathrm d t=\int_0^\tau (M\boldsymbol g+m\boldsymbol g+\boldsymbol N+\boldsymbol f)\mathrm d t=\Delta p=M\boldsymbol v+m(\boldsymbol v+\boldsymbol u)-0$

分别对 $x,y$ 方向分析。注意 $\int \boldsymbol |f|=\mu \int \boldsymbol |N|$。

则可以得到

$\int_0^\tau f \mathrm d t=-Mv+m(-v+u\cos \theta)\\ \int_0^\tau(N-Mg-mg)\mathrm d t=mu\sin\theta \Leftrightarrow \int_0^\tau N\mathrm d t=mu\sin\theta$

注意到 $(Mg+mg)\tau$ 为小量（相对于等号右边的 $mu\sin\theta$），因此可以略去。

得到

$v=\frac{mu(\cos\theta-\mu\sin\theta)}{M+m}$

如果没有摩擦，相当于水平方向动量守恒。

如果水平发射炮弹，相当于碰撞的逆过程。

如果 $\cot \theta=\mu$ 或者 $\cot\theta<\mu$，炮车会发生自锁现象，不会移动，当然不会速度反向……


质心 质心运动定理

质心

考虑两个质点组成的孤立体系。

$\begin{aligned} \boldsymbol P&=m_1\boldsymbol v_1+m_2\boldsymbol v_2\\ &=m_1\frac{\mathrm d \boldsymbol r_1}{\mathrm d t}+m_2\frac{\mathrm d \boldsymbol r_2}{\mathrm d t}\\ &=\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}(m_1\boldsymbol r_1+m_2 \boldsymbol r_2)\\ &=(m_1+m_2) \frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\left(\frac{m_1\boldsymbol r_1+m_2 \boldsymbol r_2}{m_1+m_2}\right)\\ &=\mathrm{Const} \end{aligned}$

定义：

$\boldsymbol r_c:=\frac{m_1\boldsymbol r_1+m_2 \boldsymbol r_2}{m_1+m_2}\\ \boldsymbol v_c:=\frac{\mathrm d \boldsymbol r_c}{\mathrm d t}\\ M:=m_1+m_2$

则

$\boldsymbol P=M\boldsymbol v_c$

推广到 $n$ 个粒子系统。

$\boldsymbol r_c := \frac{\sum_{i} m_i \boldsymbol r_i}{\underbrace{\sum_i m_i}_{M}}$

对于连续分布的物体：

$\boldsymbol r_c= \frac{\lim_{\max \{\Delta m_i\} \to 0} \sum_{i=1}^N \Delta m_i \boldsymbol r_i}{\lim_{\max \{\Delta m_i\} \to 0} \sum_{i=1}^N \Delta m_i}=\frac{\iiint_{\tau} \boldsymbol r\mathrm d m}{\iiint_{\tau} \mathrm d m}$

其中

$\mathrm d m=\rho\mathrm d V=\sigma \mathrm d S=\lambda\mathrm d l$

质心运动定理

质心运动定理：质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和。

$M\boldsymbol v_c=\sum_i m_i \boldsymbol v_i$

所有的参考系都成立。参考系存在质心上。

$\boldsymbol r_c \equiv 0 \Rightarrow \boldsymbol v_c=0\Rightarrow \sum_i m_i \boldsymbol v_i=0$

$\boldsymbol a_c=\frac{\mathrm d \boldsymbol v_c}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d }{\mathrm d t} \left(\sum_i m_i \boldsymbol v_i /M\right)=\sum_i \boldsymbol F_i /M$

$\boldsymbol F = M\boldsymbol a_c$

只描述平动。

适用于 惯性系。

若 $\boldsymbol a_c=0$，则质心系为惯性系。

若 $\boldsymbol a_c \not=0$，质心系为非惯性系。


动量守恒、功能原理、角动量定理在质心系成立。质点系相对惯性系的运动可以分解为：随质心的运动+相对质心的运动。

$\boldsymbol v_i=\boldsymbol v_c+\boldsymbol v_i'$

$\sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2=\frac{1}{2} Mv_c^2+\underbrace{\sum_i \boldsymbol v_c\cdot m_i\boldsymbol v_i'}_{=0}+\underbrace{\sum_{i}\frac{1}{2} m_iv_i'^2}_{资用能}$

只有在质心系中成立。

$\left(\frac{\sum_i{m_i\boldsymbol v'_i}}{M}\right)\cdot \boldsymbol v_c M$

代表在质心系中质心的速度。换句话说，在质心系中系统总动量为 $0$。

孤立系中，合外力的冲量为 0，则 $\displaystyle \frac{1}{2}Mv_c^2 =\mathrm{Const}$，则资用能为常数。

如果 $\sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2$ 为固定值，为了使 $\sum_{i}\frac{1}{2} m_iv_i'^2$ 最大，需要让 $v_c$ 最小，对撞。



质心的特性

质心系的动量为0。内力的冲量和为0。内力的力矩和为0。

速度、加速度的分解：相对于质心的速度、加速度+质心的速度、加速度。

动量的分解：没有分解，就是质心整体的动量。

角动量的分解：相对于质心的角动量+质心的动量。

质心系下功能原理/角动量定理守恒是适用的。

碰撞问题

碰撞是自然界中十分普遍的现象。

两者有可能结合在一起，或产生新的成分。

1. 相互作用强。
2. 力的形式复杂
3. 无法直接测量和记录碰撞过程

处理碰撞的物理定律是动量守恒。

弹性碰撞 碰撞后的物体和碰撞前相同，而且物体内部状态无变化。能量相同。碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞前后系统的总机械能守恒。

非弹性碰撞 碰撞后的物体与碰撞前不相同，或物体内部状态有变化。碰撞后物体的形变只有部分恢复，系统有部分机械能损失。

完全非弹性碰撞 碰撞后物体的形变完全不能恢复，两物体合为一体一起运动，沿着碰撞方向的速度相等。系统有机械能损失。

微观粒子：碰撞 $\Leftrightarrow$ 散射

$\left\{ \begin{matrix} m_1v_{10}+m_2v_{20}=m_1v_1+m_2v_2\\ \frac{1}{2}m_1v_{10}^2+\frac{1}{2}m_2v_{20}^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2 \end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix} v_1=\frac{(m_1-m_2)v_{10}+2m_2v_{20}}{m_1+m_2}\\ v_2=\frac{(m_2-m_1)v_{20}+2m_1v_{10}}{m_1+m_2} \end{matrix} \right.$

1. $m_1=m_2$ 时，交换速度。
2. $v_{20}=0$ 且 $m_2 \gg m_1$ 撞墙调转运动方向。
3. $v_{20}=0$ 且 $m_2 \ll m_1$，则 $v_1\approx v_{10},v_2 \approx 2v_{10}$。

一般情况的非弹性碰撞，碰撞后两球的分离速度 $(v_2-v_1)$ 与碰撞前两球的接近速度 $(v_{10}-v_{20})$ 成正比。比值由材料决定。恢复系数的定义：沿着碰撞方向的前后相对速度之比。

$\boxed{e=\frac{v_2-v_1}{v_{10}-v_{20}}}$

弹性碰撞 $e=1$，非弹性碰撞 $0<e<1$，完全非弹性碰撞 $e=0$。

碰撞后两球的速度

$v_1=v_{10}-m_2\frac{(1+e)(v_{10}-v_{20})}{m_1+m_2}\\ v_2=v_{20}+m_1\frac{(1+e)(v_{10}-v_{20})}{m_1+m_2}$

机械能损失

$\boxed{\Delta E_k=-\frac{1}{2}\left(1-e^2\right) \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(v_{10}-v_{20})^2}$

当 $e=0$，代表完全非弹性碰撞，令折合质量

$\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$

$\Delta E_k =-\frac{1}{2}\mu(v_{10}-v_{20})^2$

接近速度。

对于二维碰撞，如果给出散射角，就能唯一确定。

恢复系数的物理意义：

$e=\frac{v_2-v_1}{v_{10}-v_{20}}=\frac{恢复阶段冲量}{压缩阶段冲量}$

压缩阶段

$\frac{I_1}{m_2}=v-v_{20} \quad \frac{I_1}{m_1}=v_{10}-v \quad I_1\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)=v_{10}-v_{20}$

恢复阶段

$I_1\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)=v_2-v_1$

$e<0,e>1$ 的情况

质心系中，在碰撞前后两质点的动量始终大小相等，方向相反。

光滑桌面上，质量为 $m_1$ 的小球以速度 $u$ 碰在质量为 $m_2$ 的静止小球上，$u$ 与两球的连心线成 $\theta$ 角（称为斜碰）。设两球表面光滑，它们相互撞击力的方向沿着两球的连心线（也就是说，$m_1$ 球给 $m_2$ 球的动量沿着连心线方向，$m_2$ 速度的方向已知，给了我们建系的提示），已知恢复系数 $e$。求碰撞后两球的速度。

利用 $x,y$ 方向动量分别守恒（其中 $y$ 方向速度不变，可以隔离分析，只用分析一个一维的运动）

$m_1v_{1x}+m_2v_2=m_1u\cos\theta\\ -m_1v_{1y}=-m_1u\sin\theta$

恢复系数

$e=\frac{v_2-v_1}{v_{10}-v_{20}}=\frac{v_2-v_{1x}}{u\cos\theta}$

**

首先得到 $v_x=v_0,v_y=\sqrt{2gh}$，碰撞后（以竖直向上为正方向）

$v_M=\frac{m-M}{m+M}v_y\quad v_{my}=\frac{2m}{m+M} v_y$

然后使用机械能守恒，以 $M$ 初始位置为零势能点，然后可以忽略 $M$ 的重力，得到

$\frac{1}{2}Mv_M^2=\frac{1}{2}kx^2$

因此，

$x=\sqrt{\frac{M}{k}}v_M=\frac{2m}{m+M}\sqrt{\frac{2Mgh}{k}}$

只发生一次碰撞，应该正好在板子的边缘离开板子。

变质量物体的运动

运动主体+抛（吸）物体

在 $t$ 时刻动量为 $\boldsymbol P(t)$，在 $t+\Delta t$ 时刻动量为 $\boldsymbol P(t+\Delta t)$。则 $\Delta \boldsymbol P=\boldsymbol P(t+\Delta t)-\boldsymbol P(t)=\sum \boldsymbol F \Delta t$。

提绳子，线密度 $\lambda$。$t$ 时刻提到 $x$，速度为 $v$，在 $t+\mathrm d t$，多提起来 $v\mathrm d t$ 长度的绳子。

$F\mathrm d t-x\lambda g \mathrm d t=\lambda(x+v\mathrm d t)(v+\mathrm d v)-\lambda x v$

火箭、提链子。

设 $t$ 时刻，火箭质量为 $m_1$，速度为 $v$，在 $\mathrm d t$ 时间内，喷出气体为 $\mathrm d m_2$，喷气相对火箭的速度（喷气速度）为 $u$ 向下。

$\boxed{-\boldsymbol P(t)+\boldsymbol P(t+\mathrm d t)=\boldsymbol F_{外}\cdot \mathrm d t}$

研究喷气的动量变化：

$(\underbrace{v+\mathrm d v}_{下一时刻火箭的速度}-u)\mathrm d m_2-v\mathrm d m_2\approx-u\mathrm d m_2$

由动量定理：

$(F+\mathrm d m_2 g)\mathrm d t=F\mathrm d t=-u\mathrm d m_2$

反作用力

$F_P=u\frac{\mathrm d m_2}{\mathrm d t}$

对于火箭和喷气组成的系统

$F\mathrm d t=(m_1-\mathrm d m_2)(v+\mathrm d v)+\mathrm d m_2(v+\mathrm d v-u)-m_1v=m_1\mathrm dv-u\mathrm d m_2$

因此推出：

$\boxed{F=m_1\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}-u\frac{\mathrm d m_2}{\mathrm d t}\overset{\mathrm d m_1=-\mathrm d m_2}{=\!=\!=\!=\!=}m_1\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}+u\frac{\mathrm d m_1}{\mathrm d t}}$

火箭的速度公式，如果只记重力，$F=-m_1g$，两边同时除以 $m_1$，分离变量：

$\int_0^t -g\mathrm d t=\int_0^t \frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}\mathrm d t+\int_0^t u\frac{\mathrm d m_1}{m_1 \mathrm d t}\mathrm d t\\ -gt=v(t)-v(0)+u\ln\frac{m(t)}{m(0)}\\ v=u\ln \frac{m_{10}}{m_1}-\underbrace{gt}_{阻力}$

如果不计重力，得到

$v=u\ln \frac{m_{10}}{m_1}$

如何最大化速度，

v_\max = u \ln \frac{m_{10}}{m_{1\min}}

问题相当于，原来静止 $m_{10}$ 的物体，一份一份地以相对速度 $u$ 射出物体的部分，求物体质量为 $m_1$ 时可能达到的最大速度。需要分的越小越好。

希望最小化剩下的质量。

提高火箭速度的途径

1. 增加 $u$。
2. 增加 $m_{10}/m_{1\min}$。但是由技术方面的限制。

多级火箭

$v=\sum_i u\ln N_i=u \ln \left(\prod_i N_i\right)$

绳子、链条运动的问题

质量为 $M$ 的运至链条，全长为 $L$，手持其上端，使其下端刚好碰到桌面。然后放手让它自由下落到桌面上，如图。求链条落到桌面长度为 $l$ 时，桌面所受链条作用力的大小。

令 $\lambda=M/L$，

$({\color{red}{mg}}-N)\mathrm d t=-\lambda (L-l)v+\lambda (L-l-v\mathrm d t)(v+g\mathrm d t)$

得到

$N=\frac{3Mgl}{L}$

质点的角动量 角动量守恒定律

角动量（动量矩）

由于动量 $\boldsymbol p=m\boldsymbol v$ 不能描述转动问题。例如一个轻杆连接两个物体，这时候动量恒为 0。


引入质点关于参考点 $O$ （参考系中不动点）的角动量。

$\boxed{\boldsymbol L := \boldsymbol r \times \boldsymbol p=\boldsymbol r \times m\boldsymbol v}$

大小：

$L=rmv\sin\theta$

分量式：

$\boldsymbol L=\boldsymbol r \times \boldsymbol p=\begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k\\ x & y & z\\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix}$

因此，

$L_x=yp_z-zp_y=m(yv_z-zv_y)$

质点角动量定理

类比

$E_k=\frac{1}{2}mv^2 \quad \frac{\mathrm d E_k}{\mathrm d t}=\boldsymbol F \cdot \boldsymbol v（功率）\\ \boldsymbol p=m\boldsymbol v \quad \frac{\mathrm d \boldsymbol p}{\mathrm dt}=\boldsymbol F（力）\\ \frac{\mathrm d \boldsymbol L}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d (\boldsymbol r \times m \boldsymbol v)}{\mathrm d t}=\boldsymbol r \times \frac{\mathrm d (m\boldsymbol v)}{\mathrm d t}+\underbrace{\frac{\mathrm d \boldsymbol r}{\mathrm d t}}_{\boldsymbol v}\times m \boldsymbol v\\=\boldsymbol r \times \frac{\mathrm d (m\boldsymbol v)}{\mathrm d t}=\boldsymbol r \times \boldsymbol F$

合力对 同一参考点 $O$ 的力矩。

$\boldsymbol M :=\boldsymbol r \times \boldsymbol F\\ M=Fd=Fr\sin\theta$

角动量是力矩的时间累积效应。

$\boxed{\boldsymbol M=\boldsymbol r \times \boldsymbol F=\frac{\mathrm d \boldsymbol L}{\mathrm d t}}$

微分形式，表示在 $\mathrm d t$ 时间的变化

$\boldsymbol M\mathrm d t=\mathrm d \boldsymbol L$

积分形式

$\boxed{\boldsymbol r \times \boldsymbol I=\int_{t_0}^t \boldsymbol M \mathrm d t=\int_{\boldsymbol L_0}^{\boldsymbol L} \mathrm d\boldsymbol L=\boldsymbol L-\boldsymbol L_0}$

$\int_{t_0}^t \boldsymbol M \mathrm d t$ 称为合力矩在 $t_0 \to t$ 时间内的 冲量矩。

角动量守恒定律

当 $\boldsymbol M=0$，比如 $\boldsymbol F=0$，$\boldsymbol F $ 过 $O$ 点：有心力（如行星受中心恒星的万有引力）

$\boldsymbol L=\mathrm{Const}$

轨道在同一个平面内。

在中心力场中，关于力心的角动量守恒：

$L=mvr\sin\alpha=m\frac{|\mathrm d \boldsymbol r|}{\mathrm d t} r\sin\alpha=2m\frac{\frac{1}{2} r \overbrace{|\mathrm d \boldsymbol r|\sin\alpha}^{三角形的高}}{\mathrm d t}=2m\frac{\mathrm d S}{\mathrm d t}$

得到 开普勒第二定律 面积定律

$\boxed{\frac{\mathrm d S}{\mathrm d t}=\frac{L_0}{2m}}$

常量，只和运动的行星有关。

质点对轴的转动定律

$M_z=0 \Rightarrow L_z=\mathrm{Const}$

如果外力使质点变换轨道，由角动量守恒得到

$R_2mv_2=R_1mv_1 \Rightarrow v_2=\frac{R_1}{R_2} v_1$

质点系的角动量

作用于质点系的力矩

$\boldsymbol M=\sum_i \boldsymbol M_i=\sum_i \boldsymbol r _i\times \boldsymbol F_i$

重力矩

$\boldsymbol M_g=\sum_i \boldsymbol r_i\times (m_i\boldsymbol g)=\boldsymbol r_c \times m\boldsymbol g$

取质心为轴，重力的力矩为 0。

内力矩

一对力力的方向沿两者连线上，因此

$\boldsymbol M_{ij}=\boldsymbol r_i\times \boldsymbol f_{ij} + \boldsymbol r_j \times \boldsymbol f_{ji}=(\boldsymbol r_i-\boldsymbol r_j)\times\boldsymbol f_{ij}=\boldsymbol r_{ij}\times \boldsymbol f_{ij} \equiv0$

$\boxed{\frac{\mathrm d \boldsymbol L}{\mathrm d t}=\sum_i \boldsymbol r_i \times \underbrace{\boldsymbol F_i}_{外力}=\boldsymbol M}$

质点系角动量守恒的条件：

1. 外力为 0.
2. 每个外力矩为 0.
3. 外力矩加起来为 0.

质点系的动量守恒和角动量守恒是独立的，可以同时满足。

质心系的角动量定理

$\boldsymbol L=\sum _i \boldsymbol r_i \times m_i \boldsymbol v_i$

与惯性系中形式完全相同，但是无论质心系做匀速平动还是加速平动都成立。

[例4-12] 发射宇宙飞船去考察一质量为 $m_1$ 、半径为 $R$ 的行星, 当飞船静止于距行星中心 $4 R$ 处时, 以速度 $\vec{v}_0$ 发射一 质量为 $m_2\left(m_2\right.$ 远小于飞船质量) 的仪器, 要使仪器恰好掠着 行星的表面着陆, $\theta$ 角应是多少? 着陆滑行初速度 $v$ 多大?

运用 角动量守恒 和 系统机械能守恒 定律。

[例2-30] 将一质点沿一个半径为 $r$ 的光滑半球形碗的内面 水平地 投射, 碗保持静止, 如图, 设 $v_0$ 是质点恰好能达到 碗口所需的初速率. (1) 试说明质点为什么能到达碗口?
(2) 求 $v_0$ 与 $\theta_0$ 的关系。 ( $\theta_0$ 是质点的初始角位置, $o$ 为球心 $)$

当 $N\cos \theta_0 > mg$ 时，小球能向上加速。

临界条件：

$N\sin\theta_0=m\frac{v_0^2}{r\sin\theta_0} \quad N\cos\theta_0=mg \Rightarrow v_0=\sqrt{gr\frac{\sin^2\theta_0}{\cos \theta_0}}$

恒力的力矩沿着这个力的方向为 0，因此分角动量守恒。这里，在 $z$ 轴角动量守恒。

角动量守恒：

$mv_0{\color{red}{r\sin\theta_0}}=mvr$

[例2-32] 如图所示, 质量为 $m$ 的飞船绕质量为 $M$ 的地球作匀速 圆周运动, 轨道半径为 $3 R$ ( $R$ 为地球半径), 它的运行速率 $v_0$ 为 多少?飞船在此处要将它的运动速度至少增加到 $v_1$ 为多少时, 才能飞离地球? 若飞船在 $3 R$ 处将速度增加到 $v_1$ 后关闭发动机, 在离地心为 $12 R$ 处, 它的切向加速度分量 $a_{\mathrm{t}}$ 为多少?该处轨道的 曲率半径 $\rho$ 为多少 (用地球半径 $R$ 以及地球表面附近的重力加速 度 $\mathrm{g}$ 表示结果)?

在地面处：

$G\frac{Mm}{R^2}=mg \quad g=G\frac{M}{R^2}$

飞船在 $3R$ 处绕地球做匀速圆周运动，得到

$m\frac{v_0^2}{3R}=G\frac{mM}{(3R)^2} =\frac{mg}{9}$

得出 $v_0$。

为了脱离地球，系统机械能至少为零。

$\frac{1}{2}mv_1^2-G\frac{Mm}{3R}=0 \Rightarrow v_1=\sqrt{\frac{2Rg}{3}}$

从 $3R$ 到 $12R$，系统机械能守恒。

$\frac{1}{2}mv_2^2 -G\frac{Mm}{12R}=0\Rightarrow v_2 =\sqrt{\frac{Rg}{6}}$

实际上，若机械能为零，应该做抛物线运动。

在此过程中，飞船相对于地心角动量守恒：

$mv_1 \cdot 3R = mv_2 \cdot 12 R \sin\theta \Rightarrow \sin\theta=\frac{1}{2}$

需要把飞船的加速度沿速度方向和垂直速度方向分解。

$|\boldsymbol a|=G\frac{M}{(12R)^2}=\frac{g}{144}$

所以

$\boldsymbol a_\mathrm t=-a\cos\theta=-\frac{\sqrt{3}g}{288} \quad \boldsymbol a_\mathrm n =a\sin\theta =\frac{g}{288}\\ \rho=v_2^2 /a_n=48R$

质量为 $M$ 的静止粒子 $A$ 与质量为 $m$，具有速度的粒子 $B$ 碰撞，实验发现，当 $B$ 的动能小于某个数值时，$A,B$ 发生非弹性碰撞，只有当 $B$ 的动能大于此值时，$A,B$ 发生非弹性碰撞，此时 $B$ 将吸收数值为 $\Delta E$ 的固定能量。

计算 $B$ 所应具有的这一动能值。

质心速度不变

$v_c=\frac{m}{m+M}v_0$

系统能量守恒：

$\frac{1}{2}mv_0^2=\underbrace{\frac{1}{2}(m+M)v_c^2}_{\mathrm{const}}+\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2+\Delta E$

为了使 $v_0$ 最小，需要

$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}MV^2=0$

因此，

$E_k=\frac{m^2}{2(m+M)}v_0^2+\Delta E$

同轴圆筒 $\left(M_a 、 M_b\right)$ 均可自由转动, 外筒开始静止。内筒开有许多小孔，内表面散布着一薄层沙 $\left(M_0\right)$, 以 $\omega_0$ 匀速转动,沙飞出并附着在 外筒内壁。单位时间喷出沙的质量为 $k$, 忽略 沙的飞行时间,求 $t$ 时刻两筒角速度。

内筒仅仅是把沙子甩出，所以角速度不变。利用沙子和外筒角动量守恒，可以得到：

$kta^2 \omega_0=(M_b+kt)b^2 \omega_b$

因此，

$\omega_b = \frac{kta^2}{(M_b+kt)b^2} \omega_0$

两球的质量均为 $m$，轻绳，光滑水平面，求运动规律及绳中张力。

首先，分析质点系的平动，得到水平方向守恒，也就是

$mv_0=2mv_c \Rightarrow v_c=\frac{1}{2}v_0$

然后再在质心系中分析，得到系统相对质心角动量守恒，为了处理角速度：

$mv_0 \frac{l}{2}=m\left(\frac{l}{2}\right)^2 \omega + m\left(\frac{l}{2}\right)^2 \omega \Rightarrow \omega =\frac{v_0}{l}$

为什么不选择相对于其他的点角动量守恒，也可以得到：

$mv_0l=m l^2 \omega \Rightarrow \omega =\frac{v_0}{l}$

所以可以选择质心以外的点分析。

绳中的张力：

$T=m\frac{l}{2} \omega^2=\frac{1}{2}m\frac{v_0^2}{l}$

三球质量均为 $m$，轻杆，光滑水平面，对心弹性碰撞，分析其运动情况。

$a,b$ 被轻杆束缚，因此选择 $ab$ 作为一个整体分析。其质心位于两球连线的中央。

因此动量守恒，得到：

$mv_0=mv+2mv_c$

$cb$ 两球的作用力沿两球连线方向，碰撞之后 $c$ 运动仍然在 $cb$ 连线这条直线上。

设 $ab$ 杆相对于质心的角速度为 $\omega$，则相对于 $c$，$v_a=v_b=\omega \frac{l}{2}$，$r=\frac{l}{2}$，因此总角动量为

$2m\left(\frac{l}{2}\right)^2 \omega$

因此，系统角动量守恒就是说：

$mv_0\frac{l}{2}\sin 45 ^\circ=mv\frac{l}{2} \sin 45 ^\circ +2m\left(\frac{l}{2}\right)^2 \omega$

系统机械能守恒就是：

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} mv^2 +\frac{1}{2} (2m) v_c^2 +\frac{1}{2}(2m)\left(\frac{l}{2}\right)^2 \omega^2$

为什么不选择 $abc$ 整体的质心分析，因为 $c$ 不受束缚，质心的位置难以确定。

处理天体运动，一般需要机械能守恒+角动量守恒。


习题


(2) 问使用整体法

$(F+\lambda lg)\mathrm d t=p(t+\mathrm d t)-p(t)$

$p(t)=\frac{l-\frac{1}{2}gt^2}{2}$



注意是相对于炮车。

3-7


需要注意相对运动。

3-8


3-10

船在运动过程中受到的阻力和船相对于水的速度成正比，也就是说

$\boldsymbol I=\int \boldsymbol f \mathrm d t=\int -k\boldsymbol v\mathrm d t=-k\Delta x$

其中 $\Delta x$ 是船相对于水运行的距离。


1. 一开始人、船都是静止的，到最后也是整体静止。
2. 需要分析人停下的瞬间，因为这个时候速度发生了突变，整体是动量守恒的。

还可以利用牛二，设 $f'$ 为人船之间的摩擦力。

$M\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}=-kv-f'\\ m\frac{\mathrm d (v+u)}{\mathrm d t}=f'$

得到（瞬时的摩擦力）

$f'=-kv\frac{m}{M+m}$

人瞬间停下，系统的总动量不变，因此

$P=m_1(v+u)+Mv=-kx_1$

则 $x_2=-x_1$，$\Delta x=0$。

如果需要分析瞬时的摩擦力与速度的关系，就可以用这种方法。

3-11


在 $t$ 时刻，

$I=F\mathrm d t=(m(t)-q\mathrm d t)(v+\mathrm d v)+qv\mathrm d t-m(t)v$

得到

$F\mathrm d t=m(t)\mathrm d v$

$\mathrm d v=\frac{\mathrm d t}{m_0-qt} F$

$v=\frac{F}{q}\ln\left(\frac{m_0}{m_0-qt}\right)$

3-12


利用 $F\mathrm d t=\mathrm dp_{火箭}=\mathrm d p_{气体}=v\mathrm d m$，因此得到 $\mathrm d m/\mathrm d t=Mg/v$。

3-13


利用全过程动量守恒和 $t$ 到 $t+\mathrm d t$ 时间内动量守恒：

$m_0v_0=m_tv_t=(m_t+\rho Sv\mathrm d t)(v_t+\mathrm d v)$

得到

$-\frac{\mathrm d v}{\rho Sv^3}=\frac{1}{m_0v_0} \mathrm d t$

积分即可得到

$v=\frac{m_0v_0}{\sqrt{m_0^2+2m_0v_0\rho St}}$

3-20


$W=\int \boldsymbol F_1 \mathrm d \boldsymbol l=\int_O^P c\boldsymbol v\cdot \mathrm d \boldsymbol l=\int_O^P c v\mathrm d l=cv \cdot \pi R$

$\boldsymbol I=\int \boldsymbol F_1 \mathrm d t=\int c \boldsymbol {\color{purple}v \mathrm dt}=c\int {\color{purple}\mathrm d \boldsymbol x}$

3-22


由于地面光滑，所以水平速度不变，保持 $\boldsymbol v_0$。

$e=\frac{0-(-v_2)}{v_1-0}$

$\tan\theta_2=\frac{v_0}{v_2}\quad \tan \theta_1=\frac{v_0}{v_1}$

$\tan \theta_1=e\tan\theta_2$

**3-25


注意矢量叉乘的计算。

3-28


速度使用能量守恒计算，横向速度 $v_\theta$ 使用角动量守恒计算。

4-7

如图所示，一质量为 $m$ 的匀质链条，长为 $L$，手持其上端，下端与桌面接触。现使链条自静止释放落于桌面，试从下述三种不同的规律出发，计算链条下落 $s$ 距离时桌面对链条的作用力：

动量规律

一般都是在 $\Delta t$ 的时间内分析。根据质点系动量定理

$\left[\frac{m}{L}(y+\mathrm d y) g-F_N\right]\mathrm d t=0-v\mathrm d m=0-\frac{m}{L}v\mathrm d y$

两个高阶小量相乘可以约掉，因此

$\frac{m}{L}gy-F_N=-\frac{m}{L}v^2=-\frac{m}{L}2gy$

得到

$F_N=3\frac{m}{L}gs$

质心运动规律

取整个链条分析分析，先求出其质点。

取沿桌面竖直向上为 $y$ 轴正方向。

$y_c=\frac{\overbrace{\frac{m}{L} y}^{未掉落绳子重量} \cdot \overbrace{\frac{y}{2}}^{其质心}+\overbrace{(m-\frac{m}{L}y)}^{剩下质量}\cdot \overbrace{0}^{选取桌面为0点}}{m}=\frac{y^2}{2L}$

质心速度

$v_c=-\frac{y}{L}v(掉落速度)$

质心加速度

$a_c=\frac{1}{L}v^2+\frac{y}{L}a(掉落加速度=-g)$

根据质心运动定理 $F_N-mg=ma_c$。

得到

$F_N=3\frac{m}{L}gs$

4.5


4.7


4.8


4.9



使用牛顿运动定律。注意 $v_C$ 只是标量，因此

$\boldsymbol a_c=\frac{\mathrm d \boldsymbol v_c}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d v_c}{\mathrm d t}\boldsymbol e_t+\frac{L+r}{2}\omega \cdot \omega \boldsymbol e_n=\frac{L+r}{2} \omega^2$

根据质心运动定律，

$T=ma_c=\frac{M}{2L}(L^2-r^2) \omega^2$

也可以利用质心运动定律，在 $\Delta t$ 的时间内，

$I=T \Delta t=\Delta p=m\Delta \theta \cdot \frac{L+r}{2}\omega=m\frac{L+r}{2}\omega^2 \Delta t$

4.10

19-2


19-5

质量为 $m$ 的质点受到两个力的作用，一个是有心力 $\boldsymbol F_1=f(r)\boldsymbol e_r$，另一个是摩擦力 $\boldsymbol F_2=-\lambda \boldsymbol v$（常数 $\lambda>0$），其中 $\boldsymbol v$ 是质点的速度。若初始时刻该质点对 $r=0$ 的角动量为 $L_0$，求以后各时刻质点角动量的大小。

有心力力矩为 $0$，这里积分情况比较复杂，难以分析，我们使用微分方程的形式。

$\boldsymbol M=\frac{\mathrm d \boldsymbol L}{\mathrm d t}$

$-\lambda \boldsymbol v \times \boldsymbol r=\frac{\mathrm d \boldsymbol L}{\mathrm d t}$

两边取矢量模长

$-r\lambda v\sin\theta=\frac{\mathrm d L}{\mathrm d t}$

因为 $L=mrv\sin\theta$，所以，观察到相似的形式，得到

$-\lambda \frac{L}{m}=\frac{\mathrm d L}{\mathrm d t}$

因此

$L=L_0 e^{-\frac{\lambda}{m}t}$

21-10


注意角动量的定义

$\boldsymbol L=m\boldsymbol v \times \boldsymbol r\quad L=mvr\sin\theta$

摆球对圆心的角动量大小为

$m\cdot R\omega \cdot R=mR^2 \omega$

对时间的一阶导数为 0，因为合力的方向向心。

摆球对悬挂点的角动量大小为

$m\cdot R\omega \cdot r \cdot 1=mrR\omega$

对时间的一阶导数可以通过力矩计算，大小是 $mgR$。

其他的方法：纯数学的方法，得到位矢 $\boldsymbol r$ 关于时间的表达式：

$\boldsymbol r_{O'}=R\cos \omega t \boldsymbol i+R\sin \omega t \boldsymbol j-h\boldsymbol k\\ \boldsymbol r_{O}=R\cos \omega t \boldsymbol i+R\sin \omega t \boldsymbol j\\ \boldsymbol v=-R\omega \sin \omega t \boldsymbol i+R\omega \cos \omega t \boldsymbol j$

$\boldsymbol L_O=\boldsymbol r_{O} \times (m\boldsymbol v)=m\omega R^2\boldsymbol k$

$\boldsymbol L_{O'}=\boldsymbol r _{O'}\times (m\boldsymbol v)=m\omega R^2 \boldsymbol k+m\omega Rh(\sin \omega t\boldsymbol j-\cos \omega t \boldsymbol i)$

$|\boldsymbol L_{O'}|=m\omega R\cdot \sqrt{R^2+h^2}=m\omega r R$

对时间的一阶导数

$\left|\frac{\mathrm d \boldsymbol L_{O'}}{\mathrm d t}\right|=m\omega ^2 Rh$

这里，我们发现其实上 $g=\omega^2 h$。

如果知道角动量对时间的导数就代表合力矩的物理意义，就可以计算的更快。