万有引力

开普勒定律

1. 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。
2. 对于任意一个行星来说，它的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。
3. 行星绕太阳运动轨道半长轴 $a$ 的立方与周期 $T$ 的平方成正比。

开普勒运动

质点的引力势

$U(r)=-\frac{GMm}{r}$

开普勒运动的守恒量

角动量守恒，机械能守恒。

$\boldsymbol L=m\boldsymbol r \times \boldsymbol v=\mathrm{Const} \quad \frac{\mathrm d \boldsymbol L}{\mathrm d t}=0$

$E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=\mathrm{Const} \quad \frac{\mathrm d E}{\mathrm d t}=0$

隆格楞次矢量：

$\boldsymbol B \equiv \boldsymbol v \times \boldsymbol L -GMm\frac{\boldsymbol r}{r}=\mathrm{Const}$

在天体运动的水平面内。

为了得到开普勒运动的轨道，看矢径 $\boldsymbol r$ 和隆格楞次矢量的标积：

$\boldsymbol r \cdot \boldsymbol B = \boldsymbol r \cdot (\boldsymbol v \times \boldsymbol L)-GMmr=\underbrace{\boldsymbol L \cdot (\boldsymbol r \times \boldsymbol v)}_{交换两次}-GMmr=\frac{L^2}{m}-GMmr$

令 $\theta$ 为矢量 $\boldsymbol r$ 与 $\boldsymbol B$ 之间的夹角，$\boldsymbol r \cdot \boldsymbol B=rB \cos \theta$，由上式得：

$r=\frac{p}{1+\varepsilon \cos \theta}$

式中

$\left\{ \begin{matrix} p=\frac{L^2}{GMm^2}\\ \varepsilon=\frac{B}{GMm} \end{matrix} \right.$

$\varepsilon <1$ 时为椭圆，$\varepsilon >1$ 时为双曲线，$\varepsilon =1$ 时为抛物线，$\varepsilon=0$ 时为圆。

隆格楞次矢量的几何意义：方向通过焦点的对称轴，指向最近的拱点，大小正比于偏心率。对于圆轨道，$\boldsymbol B=0$。