CF1202D Print a 1337-string...

传送门

加不了了，因为CF挂了。

$Pro$

给你 $n$ ， $n \le 10^9$ ，要你输出一个字符串 $s$ ，使得 $s$ 有 $n$ 个子串为 $1337$ ，且 $|s|\le 10^5$

$Sol$

1. $1337......7$ ， $n$ 个 $7$ ？但是题目说 $|s| \le 10^5$ ，绝对会挂掉。

2. $1.......1337......7$ ？前面 $a$ 个 $1$ ， $b$ 个 $7$ ，只要找到 $a,b$ ，使得 $a \times b = n$ 即可，但是 $n$ 为质数时就挂了。

$3.$ 考虑 $1337$ 这样串的特性，发现 $1$ 和 $7$ 只能对答案造成 $n$ 级别的贡献，但是 $3$ 能对答案造成 $n^2$ 级别的贡献。

构造一个这样的串 $1....13....31...13....31....13...37$

这样我们有足够多的 $3$ ，可能对答案造成很多贡献。

继续yy，发现一个 $1$ 对答案的贡献是 $($ 它后面 $3$ 的个数 $)*($ 它后面 $3$ 的个数 $-1)/2$ 。

于是，我们要把 $n$ 拆分成 $\sum \frac{i \times(i-1)}{2} \times j$ 的形式。

第一眼看上去，我们预处理 $\frac {i \times (i-1)}{2}$ ，这不就是裸的背包吗？

但是仔细考虑之后，发现原来比背包还要简单，因为 $2 \times 1 /2 =1$ ，所以保证了有解，而且 $\frac {i \times (i-1)}{2}$ 分布得比较紧密，完全可以用一个贪心算法求出解：

while (n>0){
    int pos=upper_bound(Data+1,Data+MAXN,n)-Data-1;
    vis[pos]++;
    n-=Data[pos];
}

求出解后，我们得到了 $vis$ 数组，代表你需要 $vis[i]$ 个 $1$ ，它的后面有 $i$ 个 $3$ 。

这不就好搞了吗，差分一下即可。

为什么串的长度能控制在 $10^5$ 之内，感性理解一下，取数是贪心取的，串中 $3$ 的数量大概就是 $\sqrt n$ 级别的，然而 $\sqrt {10^9} < 10^5$ ，再算上 $1$ 和 $7$ 之类的边边角角大概不会超过。

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 100005
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){
        if (ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while (ch>='0'&&ch<='9'){
        x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^'0');
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int Data[MAXN];
int vis[MAXN];
inline void Put(char ch,int t){
    for (register int i=1;i<=t;++i){
        putchar(ch);
    }
}
#undef int
int main(){
#define int long long
    int t=read();
    for (register int i=1;i<MAXN;++i){
        Data[i]=i*(i+1)/2ll;
    }
    while (t--){
        int n=read();
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        while (n>0){
            int pos=upper_bound(Data+1,Data+MAXN,n)-Data-1;
            vis[pos]++;
            n-=Data[pos];
        }
        int lst=-1;
        for (register int i=MAXN-1;i>=0;--i){
            if (vis[i]){
                if (lst!=-1) Put('3',lst-i);
                Put('1',vis[i]);
                lst=i;
            }
        }
        Put('3',lst+1);
        Put('7',1);
        printf("\n");
    }
}