第一类欧拉积分（贝塔函数）

定义

$\operatorname{B}(x,y)=\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\mathrm d t$

性质

对称性

$\operatorname{B}(x,y)=\int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\mathrm d t=\int_0^1 (1-u)^{x-1} u^{y-1} \mathrm d u$

因此 $\operatorname{B}(x,y)=\operatorname{B}(y,x)$。

引入伽玛函数，是阶乘在实数与复数域上的扩展，

$\operatorname{\Gamma}(z)=\int_0^\infin t^{z-1}z^{-t}\mathrm d t$

当 $n$ 为正整数，可以得到

$\operatorname{\Gamma}(n)=(n-1)!$

当 $x,y$ 为正整数时，可以得到

$\operatorname{B}(x,y)=\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}$

推广，可以得到

$\boxed{\operatorname{B}(x,y)=\frac{\operatorname{\Gamma}(x)\operatorname{\Gamma}(y)}{\operatorname{\Gamma}(x+y)}}$

推广到三角积分，令 $t=\sin^2\theta$，则得到

$\operatorname{B}(x,y)=\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2(x-1)}\theta\cdot \cos^{2(y-1)}\theta \cdot 2\cos \theta \sin\theta \mathrm d \theta=2\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2x-1}\theta\cdot \cos^{2y-1}\theta \mathrm d \theta$

那么，解方程即可得到

$\boxed{ \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^m \theta\cdot \cos ^n \theta\mathrm d \theta=\frac{1}{2}B\left(\frac{m +1}{2},\frac{n+1}{2}\right)=\frac{1}{2} \frac{\operatorname{\Gamma}(\frac{m +1}{2})\operatorname{\Gamma}(\frac{n+1}{2})}{\operatorname{\Gamma}(\frac{m +1}{2}+\frac{n+1}{2})} }$

不妨通过这个公式，验证瓦里斯公式，当 $n=0$，可以得到

$\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^m \theta \mathrm d \theta=\frac{1}{2} \frac{\operatorname{\Gamma}(\frac{m +1}{2})\operatorname{\Gamma}(\frac{1}{2})}{\operatorname{\Gamma}(\frac{m }{2}+1)}$

利用

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} \quad \Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\pi \Gamma(2z)$