期中讲座

1.7


比较简单。

1.8


极坐标：

$\exp[r^2|\cos\theta \sin\theta|\ln r+r^2|\cos \theta\sin\theta| \ln (|\cos\theta|+|\sin\theta|)]$

注意到 $|\cos\theta\sin\theta|,\ln (|\cos\theta|+|\sin\theta|)$ 均有界，而且 $r^2\ln r \to0$，因此极限是1.

2.3


$\mathrm d z=f_1 \mathrm d x+f_2\mathrm d y+f_3\mathrm d z\\ \mathrm d y=\varphi_1 \mathrm d x+\varphi_2 \mathrm d t$

需要转化为 $z$ 关于 $y,t$ 的表达式，也就是将 $\mathrm d y,\mathrm d t$ 视为已知数，$\mathrm d x$ 视为未知数

5


令 $G(r,\theta)=f(r\cos \theta)+g(r\sin\theta)=S(r)$，则

$G_\theta=-r\sin\theta f'(r\cos\theta)+r\cos\theta g'(r\sin\theta)=0\\ \Leftrightarrow -\sin\theta f'+\cos \theta g'=0\overset{\partial \theta}{\Rightarrow} \sin^2 \theta f'+\cos^2g'=r\cos\theta f''+r\cos \theta g'' \\ G_r=\cos\theta f'(r\cos\theta)+\sin\theta g'(r\sin\theta)\\ \frac{\partial\left(\frac{G_r}{r}\right)}{\partial r}=\frac{G_{rr}-rG_r}{r^2}=\frac{\cos^2\theta f''+\sin^2\theta g''-r\cos\theta f'-r\sin\theta g'}{r^2}=0$

推出：$G_r/r=C,G_r=Cr,G=F=c_1 r^2+c_2$。



二重积分的转化

平方转二重积分


利用变上限函数，这个感觉思路一样。

利用二重积分，这个比较难想，主要发现 $x,y$ 轮换对称，也就是

$\int_0^1 f(x)\mathrm d x\int_0^x f(y) \mathrm d y=\int_0^1 f(y) \mathrm d y\int_0^y f(x)\mathrm d x=I$

容易发现这两部分覆盖了整个 $[0,1]\times[0,1]$ 区域。

因此，

$\left(\int_0^1 f(x) \mathrm d x\right)^2 = 2\int_0^1 f(x)\mathrm d x\int_0^x f(y)\mathrm d y\ge \int_0^1 f(x)\mathrm d x\int_0^x 2f(y)f'(y)\mathrm d y=\int_0^1 [f(x)]^3 \mathrm d x$

一维转二重积分

比较经典的应用是计算高斯积分

$\int_0^{+\infin} e^{-x^2}\mathrm d x$

当然，也可以有其他的应用，比如计算一些在一维的情况积不出来的积分。

设 $a,b<0$，计算

$\int_0^\infin\frac{\sin x(e^{ax}-e^{bx})}{x}\mathrm d x$

观察到如果以 $a,b$ 为变量，发现其实是 $e^{yx}$ 的原函数。

$\int_0^\infin \sin x \mathrm d x\int_a^b e^{yx} \mathrm d y$

然后交换积分上下限，得到

$-\int_a^b \int_0^\infin \sin x \cdot e^{yx} \mathrm d \sigma$

这个积分不会求

$\int \sin x\cdot e^{yx} \mathrm d \sigma$

直接发现

$(A\sin x+B\cos x) e^{yx}$

是封闭的，通过 Cramer 法则解出 $A,B$，得到

$A=\frac{y}{y^2+1} \quad B=-\frac{1}{y^2+1}$

因此，积分结果为

$\left.\left(\frac{y}{y^2+1} \sin x-\frac{1}{y^2+1}\cos x \right)e^{xy}\right|_0^{+\infin}=-\frac{1}{y^2+1}$

$-\int_a^b \frac{1}{1+y^2} \mathrm d y=\arctan a-\arctan b$

设 $a,b>0$，求

$\int_0^1 \frac{x^b-x^a}{\ln x}\mathrm d x$

看形式，出现了 $f(b)-f(a)$，这里 $f(y)=x^y$，于是，对 $y$ 进行求导，得到 $\ln x \cdot x^y$，然后转化为

$\int_0^1 \int_a^b \ln x\cdot x^y /\ln x \mathrm d \sigma=\int_0^1 \int_a^b x^y \mathrm d x\mathrm d y$

交换积分顺序，得到

$\int_a^b \mathrm d y\int_0^1 x^y \mathrm d x=\int_a^b \mathrm d y \left.\left(\frac{1}{1+y} x^{y+1}\right)\right|_0^1 =\ln(b+1)-\ln(a+1)$


容易发现是一个中心在 $(0,0,t)$ 的球，转化为球面坐标，变为：

$\int_0^{2\pi} \mathrm d \theta \int_0^\frac{\pi}{2} \mathrm d \varphi \int_0^ {2t\cos\varphi} f(r^2)\cdot r^2\sin\varphi \mathrm d r$

先做第一步的化简

$2\pi\int_0^\frac{\pi}{2} \sin\varphi \mathrm d \varphi \int_0^{2t\cos\varphi} f(r^2)r^2\mathrm d r$

这里，为了参数能够露在外面，交换积分变量，得到

$2\pi \int_0^{2t} f(r^2) r^2\mathrm d r\int_0^{\arccos(r/2t)} \sin \varphi \mathrm d\varphi=2\pi\int_0^{2t} f(r^2)r^2 \left(-\frac{r}{2t}+1\right)\mathrm d r$

……