广义积分

定义：

$\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm d x=\lim_{x\to+\infty} \int_a^x f(t)\mathrm d t$

若极限不存在则称其发散。

讨论：

$\int_a^{+\infty} \frac{\mathrm d x}{x^p}$

的敛散性。

$F(x)=\int_a^x \frac{\mathrm d t}{t^p}=\frac{1}{1-p}(x^{1-p}-a^{1-p}),p\not=1;\ln x-\ln a,p=1$

当 $p>1$ 时，收敛，当 $p\le1$ 时，发散。

讨论：

$\int_0^{a} \frac{\mathrm d x}{x^p}$

的敛散性。

$p<1$ 收敛，$p\ge 1$ 发散。

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty]$ 上连续，且 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=2007$，计算：

$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 f(nx)\mathrm d x$

使用变量代换，令 $u=nx$。

则：

$\lim_{n\to+\infty}\frac{\int_0^n f(u)\mathrm d u}{n}=\lim_{n \to +\infty} \frac{\mathrm {d} \int_0^n f(u)\mathrm d u}{\mathrm d n}=\lim_{n \to +\infty} f(n)=(海因定理)\lim_{x\to+\infty} f(x)=2007(极限存在)$

敛散性的判断

在做题之前可以先判断题目函数大致的敛散性。比较判别法：小于一个收敛函数则收敛，大于一个发散函数则发散。

设 $\lim_{x\to+\infty}x^pf(x)=l$，则 $f(x)$ 与 $1/x^p$ 同阶：

1. 当 $p>1$ 且 $0\le l <+\infty$ 时，$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ 收敛，是因为此时 $1/x^p$ 是收敛的。
2. 当 $p\le1$ 且 $0<l\le+\infty$ 时，$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ 发散，是因为此时 $1/x^p$ 是发散的。

海因定理的适用前提是极限存在，如果我们可以证明收敛，则可以使用海因定理。

求证：

$\lim_{n \to +\infty} (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n)$

存在。

转化为：

$\int_1^{+\infty}(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x})\mathrm d x$

怎么证明这个极限存在，我们使用放缩，类似于夹逼定理：

$x \ge 2$ 时，

$0\le\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\le\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$

两边积分发现是收敛的。