数学分析补充内容：多元函数的极限与连续

高位空间的点集与基本定理

定义 11.1.1（范数与距离）在 $\R^n$ 中，定义点 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \in \R^n$ 的欧几里得范数（又称模长）为

|\boldsymbol x|=\left(\sum_{k=1} ^n x_i^2\right)^\frac{1}{2}

进而定义 $\R^n$ 中任意两点 $\boldsymbol x,\boldsymbol y$ 的距离为：

d(\boldsymbol x,\boldsymbol y):=|\boldsymbol x-\boldsymbol y| = \left[\sum _{k=1}^n (x_i-y_i)^2 \right]^\frac{1}{2}

更一般地，设 $S,T$ 为 $\R^n$ 的两个子集， $\boldsymbol x \in\R^n$ ，定义

d(\boldsymbol x,S)=\inf_{y\in S} |\boldsymbol x-\boldsymbol y| \quad d(S,T)=\inf_{x\in S,y\in T}|\boldsymbol x-\boldsymbol y|

三角不等式：设 $\boldsymbol x,\boldsymbol y,\boldsymbol z \in\R^n$ ，则 $|\boldsymbol x- \boldsymbol z| \le |\boldsymbol x - \boldsymbol y|+|\boldsymbol y-\boldsymbol z|$ 。

定义 11.1.2（邻域）设 $\boldsymbol a \in\R^n,\delta >0$ ，定义

U(\boldsymbol a ;\delta)=\{\boldsymbol x \in \R^n \mid |\boldsymbol x-\boldsymbol a| <\delta \}

为点 $\boldsymbol a$ 的 $\delta$ 邻域，也称其为以点 $\boldsymbol a$ 为中心，以 $\delta$ 为半精度 $n$ 维开球。同理可定义空心邻域。

累次极限和重极限

重极限和累次极限完全是两个不同的概念。

设重极限 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)=A$ 存在，那么

如果 $y\not=y_0$ 时， $\lim_{x \to x_0} f(x,y)$ 存在，则 $\lim_{y \to y_0}\lim_{x\to x_0} f(x,y)=A$ 。
如果 $x\not=x_0$ 时， $\lim_{y \to y_0} f(x,y)$ 存在，则 $\lim_{x \to x_0} \lim_{y\to y_0} f(x,y) =A$ 。

反之，累次极限存在不能说明重极限存在

由于 $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)=A$ ，所以对于任意的 $\varepsilon >0$ 存在 $\delta >0$ ，使得当 $0 < |x-x_0| <\delta$ ，且 $0<|y-y_0|<\delta$ 时有

|f(x,y)-A|<\varepsilon

对于每个固定的 $y \in U^\circ (y_0,\delta)$ ，由于 $\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x,y)$ 存在，所以取极限，得到

\left|\lim_{x\to x_0} f(x,y) -A \right| \le \varepsilon

说明了 $\lim_{y \to y_0}\lim_{x\to x_0} f(x,y)=A$ 。

若 $\lim_{x\to x_0}\lim_{y \to y_0} f(x,y)\not=\lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x,y)$ ，则重极限不存在。

设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内有定义, 那么:
(1) 若对每个 $\theta \in[0,2 \pi)$ , 有 $\lim _{r \rightarrow 0} f\left(x_0+r \cos \theta, y_0+r \sin \theta\right)=A$ , 则不一定有 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=A$ .
(2) 若 $\lim _{r \rightarrow 0} f\left(x_0+r \cos \theta, y_0+r \sin \theta\right)=A$ 关于 $\theta \in[0,2 \pi)$ 一致成立, 则有 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=A$ .