线性代数中的一些概念

相关链接：高斯消元法与矩阵的初等行运算

线性方程与线性方程组

关键：未知变量的最高次数为一次。

同解方程组

矩阵同型和相等

矩阵类型、符号

零矩阵

$\textbf{O}_{m \times n},\textbf{O}$

行矩阵和列矩阵（行向量，列向量）

方阵

$\textbf{A}_n$，具有主对角线，主对角元。

对角矩阵

$\textbf{A}=\textbf{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})$。

单位矩阵

$\textbf{E},\textbf{I}$

数量矩阵

主对角元全部为 $k$。

$kE,kE_n$

三角矩阵

$n$ 阶上三角矩阵：$a_{ij},i>j,i,j=1,2,\cdots,n$，严格加上等于（主对角元也等于 0）

对称矩阵、反对称矩阵

$a_{ij}=a_{ji},a_{ij}=-a_{ji}$。

矩阵的初等行运算

1. 交换两行。
2. 以非零实数乘以某行。
3. 将某行替换为它与其他行的倍数之和。

行阶梯型

1. 零行排在所有非零行的下方。
2. 主元标号从上到下依次递增。

（行）简化阶梯型

又称行最简形、规范阶梯型，厄米特标准型。

1. 主元为 1。
2. 主元所在列的其他元素均为 0。

高斯消元

$\tilde{A} $ 通过初等行变换形成一个（简化）阶梯型矩阵。

解的判定

增广矩阵化为阶梯型矩阵。

$r$：增广矩阵非 0 行的个数。

$s$：原系数矩阵非 0 行的个数。

1. $r=s=n$ 唯一解。
2. $r=s<n$ 无穷多组解。
3. $r>s$ 无解。

若为齐次，则 $r=s$，并且在齐次的加持下，必然有一组全 0 解，就有：

1. $r=s=n$ 唯一全 0 解。
2. $r=s<n$ 无穷多组解。
3. 若 $m<n$ 则必有非 0 解。（对应无穷多组解）