矩阵乘法的解释 矩阵乘法可以看做向量的重新组合。 最大可分性 我们有一组 nnn 维的向量，现在需要降到 kkk 维（k<nk <nk<n），如何选取 kkk 个基，最大程度地保留原有的信息。 引入：有噪音的一维数据 在一条直线附近，我们随便点 666 个点，但是都和原直线有一定的偏差，通过这 666 个点拟合一条直线，我们最先想到的是高中所学的回归法，不过这...

QR 分解的定义 将矩阵分解为一下正交阵 QQQ 与上三角阵 RRR 乘积的过程，称为QR分解。 且当 RRR 的对角元均为正时，分解是唯一的。 QR 分解的方法 Schmidt 正交化 可以使用 Schmidt 正交化，根据 Schmidt 正交化过程， αi=βi+∑j=1i−1(βj,αi)(βj,βj)βj\alpha_i=\beta_i+\sum_{j=1}^{i-1} \f...

奇异值分解的定义 奇异值分解（SVD）是对矩阵进行分解，但是不要求被分解的矩阵为方阵。如果我们的矩阵 AAA 是一个 m×nm \times nm×n 的矩阵，则矩阵 AAA 的 SVD 为： Am×n=Um×mΣm×nVn×nTA_{m\times n}=U_{m \times m} \Sigma_{m \times n} V^T_{n\times n} Am×n​=Um×m​Σm×n...

设斐波那契数列第 kkk 项为 FkF_kFk​，则递推公式： Fk=Fk−1+Fk−2F_k=F_{k-1}+F_{k-2} Fk​=Fk−1​+Fk−2​ 则： [FkFk−1]=[1110][Fk−1Fk−2]\begin{bmatrix} F_k\\ F_{k-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \en...

高斯消元 旋转矩阵： [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} [cosθsinθ​−sinθcosθ​] 逆时针的旋转。 转置 tr(ATA)=0⇒A=0tr(A^TA)=0 \Rightar...

点乘、叉乘 点乘： a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡(a,b)a\cdot b=|a||b|\cos(a,b) a⋅b=∣a∣∣b∣cos(a,b) 几何意义是 aaa 的长度和 bbb 在 aaa 上投影的乘积。 叉乘： a×b=∣a∣∣b∣sin⁡(a,b)a\times b=|a||b|\sin(a,b) a×b=∣a∣∣b∣sin(a,b) 几何意义绝对值是 a,ba,ba,b 所夹平...

线性微分方程-待定系数法 我们假设 fff 的泰勒级数表示是： f=a0+a1x+⋯anxnf=a_0+a_1x+\cdots a_n x^n f=a0​+a1​x+⋯an​xn 后面余项不要了。考虑表示为矩阵形式（ xix^ixi 系数到 aia_iai​ 的转移矩阵）则 fff 可以表示为 EiE_{i}Ei​。 求导操作就是乘一个矩阵 Di,i+1=iD_{i,i+1}=iDi,i+...

导数点为 000，Lagrange 乘数法。但是没有不等式约束。 max⁡ S=CX(1.1)\max\,S=CX\tag{1.1} maxS=CX(1.1) AX=b(1.2)AX=b\tag{1.2} AX=b(1.2) X≥0(1.3)X\ge0\tag{1.3} X≥0(1.3) 满足约束条件式 1.2 的 X，称为线性规划问题的解； 满足约束条件式 1.2 与式 1.3 的 ...

$A \sim A $ A∼B⇒B∼AA\sim B \Rightarrow B \sim AA∼B⇒B∼A A∼B,B∼C⇒A∼CA \sim B,B \sim C \Rightarrow A \sim CA∼B,B∼C⇒A∼C 相似矩阵有相同的特征多项式，是因为 A∼B⇒∣λE−A∣=∣λE−B∣A\sim B\Rightarrow |\lambda E-A|=|\lambda E-...

函数的长度： ∣f∣=∫ab∣f(x)∣2dx∣fg∣≤∣f∣∣g∣|f|=\sqrt{\int_a^b |f(x)|^2 \mathrm d x}\\ |fg|\le|f||g| ∣f∣=∫ab​∣f(x)∣2dx​∣fg∣≤∣f∣∣g∣ α1,α2,⋯ ,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rα1​,α2​,⋯,αr​ 是一组两两正交的非零向量，则 a1,...