高数第一弹 函数-实数集

实数集

有理数集和实数集-数学归纳法

例题

设 $a^{[n]}=a(a-h)\cdots[a-(n-1)h]$，以及 $a^{[0]}=1$，可用数学归纳法证明：

$(a+b)^{[n]}=\sum_{m=0}^n C_n^m a^{[n-m]}b^{[m]}$

关键：

1. 拆分 $a+b-(n-1)h$ 为 $a-ih+b-jh$，然后分别分配给两项。
2. 利用 $C_{n}^m+C_n^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}$。

数集的划分

分有理数为 $A,B$ 两集，使其满足以下条件：

1. 两者均为非空集。
2. 每个有理数必属于一类，并且仅属于一类。
3. 属于 $A$ 类（下类）的任何一个数小于属于 $B$ 类（上类）的任何一个数，则称这样的分类法为一个分割。

若 $A$ 中有最大的数，或 $B$ 中有最小的数，则分割 $A/B$ 确定一个有理数。

若 $A,B$ 无最大、最小数，则分割 $A/B$ 确定一个无理数。

例题

如何证明 $\sqrt[3]{2}$ 是一个无理数？

我们规定 $A$：小于 $\sqrt[3]{2}$ 的有理数，$B$：大于等于 $\sqrt[3]{2}$ 的有理数

设 $a \in A$，即 $a^3 < 2$，取正整数 $n$，使得：

$(a+\frac{1}{n}) ^3 <2$

展开得：

$\frac{3a^2}{n}+\frac{2a}{n^2}+\frac{1}{n^3}<2-a^3$

对其进行放缩，形成 $\frac{M}{n}<2-a^3$ 的形式。

我们希望 $a\ge 0$，否则不好放缩，所以先讨论 $a<0$ 的情况，这样显然取 $n=1$ 是合法的。

而当 $a \ge 0$，

$LHS<\frac{3a^2+2a+1}{n}<2-a^3$

只需：

$n > \frac{3a^2+3a+1}{2-a^3}$

而对于 $b \in B$，我们首先证明 $b$ 不等于 $\sqrt[3]{2}$（经典），然后模仿上述操作证明总是存在 $n$，使得 $(b-\frac{1}{n})^3>2$ 即可。

不等式

例题

证明：

$\sqrt[n]{n}-1<\frac{2}{\sqrt{n}},n\in \mathbb{N}_{+}$

首先，我们观察到当 $n \to +\infty$，显然 $\sqrt[n]{n} \to 1$，更加具体地，$\ln \sqrt[n]{n}=\frac{1}{n} \ln n$，当 $n=e$ 有极大值，$n \to +\infty$，它的值 $\to 0$。

这样，我们就发现 $\sqrt[n]{n}-1$ 是一个小量。

至于小量的估计，我们采用二项式展开，比较精准，可以类比中学我们算 $(1+0.01)^{10}$ 之类的，展开到两三项之后精度就够了。

这样，我们令 $\sqrt[n]{n}-1=a$，则 $n=(1+a)^n=1+na+\frac{n(n-1)}{2} a^2 + \cdots \ge 1+\frac{n(n-1)}{2}a^2$，推出：

$a<\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}}$

这里吐槽以下舍去了 $na$ 这一项就有点草率了，但是本身不等式就比较宽。

我们还有另外一个方法，令 $\sqrt[n]{n}=t$ 注意到 $n-1=(t -1)(1+t+t^2+\cdots+t^{n-1})$，这样我们就可以利用类似以上的推论。

$t-1=\frac{n-1}{1+t+t^2+\cdots t^{n-1}}\le\frac{n-1}{n\sqrt[n]{t^{n(n-1)/2}}}=\frac{n-1}{n\sqrt[n]{n^{(n-1)/2}}}<\frac{n^{\frac{1}{2n}}}{\sqrt{n}} \le \frac{2}{\sqrt{n}}$

当然上述对 $n \ge 3$ 才成立，但不难验证结论对 $n=1,2$ 成立，估计是因为 $n \ge e$ ，$\sqrt[n]{n}$ 单减，才会出现这样的分界。

例题

证明：

$\frac{1}{2\sqrt n }<\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} <\frac{1}{\sqrt{2n+1}} (n \ge 2)$

不妨设 $\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=S$，则原式转换为 $\frac{1}{4n} < S^2 <\frac{1}{2n+1}$。

先证明右边。

$S=\frac{1\times 3\times \cdots\times(2n-1)}{2\times4 \times \cdots\times(2n)}<\frac{2\times4\times\cdots\times(2n)}{3\times5\times\cdots\times(2n+1)}\\ S^2<S\frac{2\times4\times\cdots\times(2n)}{3\times5\times\cdots\times(2n+1)}=\frac{1}{2n+1}$

再证明左边：

$S=\frac{1\times 3\times \cdots\times(2n-1)}{2\times4 \times \cdots\times(2n)}>\frac{1\times2\times\cdots\times(2n-2)}{2\times3\times\cdots\times(2n-1)}\\ S^2>S\frac{1\times2\times\cdots\times(2n-2)}{2\times3\times\cdots\times(2n-1)}=\frac{1}{4n}$

也可以使用数学归纳法……

例题

$k,n \in \mathbb{N},k < n$

$\frac{k^n}{n^n} <\frac{(k+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$

全部开 $n+1$ 次根：

$\sqrt[n+1]{1 \times \frac{k}{n}\times \cdots\times\frac{k}{n}}<\frac{k+1}{n+1}$

然后就是 $A-G$ 不等式。

例题

证明：$(1+\frac{1}{n})^n$ 有上界，而且：

$(1+\frac{1}{n})^n < (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

$4 \times (1+\frac{1}{n})^n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} < 4 \times \sqrt[n+2]{\frac{n(1+\frac{1}{n})+\frac{1}{2} \times 2}{n+2}}=4$

$(1+\frac{1}{n})^n \times 1 < \sqrt[n+1]{\frac{n+1+1}{n+1}}=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

也可以展开 $(1+\frac{1}{n})^n$ 计算……

证明：$(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ 有下界，而且：

$(1+\frac{1}{n-1})^{n} > (1+\frac{1}{n})^{n+1}$

为了方便表示，我们观察n-1项和n项的关系

对不等式进行变形，然后观察：

$(\frac{n}{n-1})^n>(\frac{n+1}{n}) \times (\frac{n+1}{n})^n$

推出：

$(\frac{n^2}{n^2-1})^n > 1+\frac{1}{n}$

$(1+\frac{1}{n^2-1})^n > 1+\frac{n}{n^2-1}>1+\frac{1}{n}$

在后续的数列极限证明中，我们证明两式的公共极限是 $e$，并且我们可以推出熟知的不等式：

$\frac{1}{n+1} < \ln (1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}$

经常被我们忽略的那些不等式

绝对值不等式：

$|x|-|y| \le |x+y| \le |x|+|y|$

含义：三角形

同样的：

$|x-y| \ge ||x|-|y||$

多元素的情况：

$|x|-(|x_1|+\cdots|x_n|) \le |x+x_1+\cdots+x_n| \le |x|+(|x_1|+\cdots+|x_n|)$

解绝对值不等式我们除了可以分类讨论，也可以两边平方。

最大值、最小值相关：

$\max\{x,y\}=\frac{x+y}{2}+|\frac{x-y}{2}|\\ \min\{x,y\}=\frac{x+y}{2}-|\frac{x-y}{2}|$

同样，我们证明 $\max,\min$ 的范围还可以假设 $\max,\min$ 前面的所有元素符合这个范围，推出最后一个元素不符合这个范围。

数集的界

例题

设 $A,B$ 都是非空有理数集，$\sup A=a,\sup B=b$，定义：

$A+B=\{x|x=x_1+x_2,x_1\in A,x_2 \in B\}$

求证 $\sup A+B=a+b$。

这里我们需要运用数集上界的定义，若 $\sup S=m$，

$\forall x \in S,x \le m$。

$\forall \varepsilon >0, \exists x \in S, x>m-\varepsilon$。

因此，先说明第一条性质。

$\forall x \in (A+B),x=x_1+x_2 \le a+b$

接着第二条性质，我们先选择一个任意的 $\varepsilon >0$：

则根据 $A,B$ 满足第二条性质，先固定 $\varepsilon$，我们有：

$\exists x_1 \in A,x_1 > a-\varepsilon/2\\ \exists x_2 \in B,x_2 > b-\varepsilon/2$

因此：$\exists x \in S,x=x_1+x_2>a+b-\varepsilon$，这就说明了第二条性质成立。

这里我们主要运用了选择 $\varepsilon$ 的任意性。

同样的，当 $x_1,x_2 \ge 0$，我们可以证明 $\sup A\times B=\sup A \times \sup B$。

例题

如何证明任何非空且有下界的数集有下确界，……上……

提示：运用实数的分割。