实数集
有理数集和实数集-数学归纳法
例题
设 a[n]=a(a−h)⋯[a−(n−1)h],以及 a[0]=1,可用数学归纳法证明:
(a+b)[n]=m=0∑nCnma[n−m]b[m]
关键:
- 拆分 a+b−(n−1)h 为 a−ih+b−jh,然后分别分配给两项。
- 利用 Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1。
数集的划分
分有理数为 A,B 两集,使其满足以下条件:
- 两者均为非空集。
- 每个有理数必属于一类,并且仅属于一类。
- 属于 A 类(下类)的任何一个数小于属于 B 类(上类)的任何一个数,则称这样的分类法为一个分割。
若 A 中有最大的数,或 B 中有最小的数,则分割 A/B 确定一个有理数。
若 A,B 无最大、最小数,则分割 A/B 确定一个无理数。
例题
如何证明 32 是一个无理数?
我们规定 A:小于 32 的有理数,B:大于等于 32 的有理数
设 a∈A,即 a3<2,取正整数 n,使得:
(a+n1)3<2
展开得:
n3a2+n22a+n31<2−a3
对其进行放缩,形成 nM<2−a3 的形式。
我们希望 a≥0,否则不好放缩,所以先讨论 a<0 的情况,这样显然取 n=1 是合法的。
而当 a≥0,
LHS<n3a2+2a+1<2−a3
只需:
n>2−a33a2+3a+1
而对于 b∈B,我们首先证明 b 不等于 32(经典),然后模仿上述操作证明总是存在 n,使得 (b−n1)3>2 即可。
不等式
例题
证明:
nn−1<n2,n∈N+
首先,我们观察到当 n→+∞,显然 nn→1,更加具体地,lnnn=n1lnn,当 n=e 有极大值,n→+∞,它的值 →0。
这样,我们就发现 nn−1 是一个小量。
至于小量的估计,我们采用二项式展开,比较精准,可以类比中学我们算 (1+0.01)10 之类的,展开到两三项之后精度就够了。
这样,我们令 nn−1=a,则 n=(1+a)n=1+na+2n(n−1)a2+⋯≥1+2n(n−1)a2,推出:
a<n2<n2
这里吐槽以下舍去了 na 这一项就有点草率了,但是本身不等式就比较宽。
我们还有另外一个方法,令 nn=t 注意到 n−1=(t−1)(1+t+t2+⋯+tn−1),这样我们就可以利用类似以上的推论。
t−1=1+t+t2+⋯tn−1n−1≤nntn(n−1)/2n−1=nnn(n−1)/2n−1<nn2n1≤n2
当然上述对 n≥3 才成立,但不难验证结论对 n=1,2 成立,估计是因为 n≥e ,nn 单减,才会出现这样的分界。
例题
证明:
2n1<(2n)!!(2n−1)!!<2n+11(n≥2)
不妨设 (2n)!!(2n−1)!!=S,则原式转换为 4n1<S2<2n+11。
先证明右边。
S=2×4×⋯×(2n)1×3×⋯×(2n−1)<3×5×⋯×(2n+1)2×4×⋯×(2n)S2<S3×5×⋯×(2n+1)2×4×⋯×(2n)=2n+11
再证明左边:
S=2×4×⋯×(2n)1×3×⋯×(2n−1)>2×3×⋯×(2n−1)1×2×⋯×(2n−2)S2>S2×3×⋯×(2n−1)1×2×⋯×(2n−2)=4n1
也可以使用数学归纳法……
例题
k,n∈N,k<n
nnkn<(n+1)n+1(k+1)n+1
全部开 n+1 次根:
n+11×nk×⋯×nk<n+1k+1
然后就是 A−G 不等式。
例题
证明:(1+n1)n 有上界,而且:
(1+n1)n<(1+n+11)n+1
4×(1+n1)n×21×21<4×n+2n+2n(1+n1)+21×2=4
(1+n1)n×1<n+1n+1n+1+1=(1+n+11)n+1
也可以展开 (1+n1)n 计算……
证明:(1+n1)n+1 有下界,而且:
(1+n−11)n>(1+n1)n+1
为了方便表示,我们观察n-1项和n项的关系
对不等式进行变形,然后观察:
(n−1n)n>(nn+1)×(nn+1)n
推出:
(n2−1n2)n>1+n1
(1+n2−11)n>1+n2−1n>1+n1
在后续的数列极限证明中,我们证明两式的公共极限是 e,并且我们可以推出熟知的不等式:
n+11<ln(1+n1)<n1
经常被我们忽略的那些不等式
绝对值不等式:
∣x∣−∣y∣≤∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣
含义:三角形
同样的:
∣x−y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣
多元素的情况:
∣x∣−(∣x1∣+⋯∣xn∣)≤∣x+x1+⋯+xn∣≤∣x∣+(∣x1∣+⋯+∣xn∣)
解绝对值不等式我们除了可以分类讨论,也可以两边平方。
最大值、最小值相关:
max{x,y}=2x+y+∣2x−y∣min{x,y}=2x+y−∣2x−y∣
同样,我们证明 max,min 的范围还可以假设 max,min 前面的所有元素符合这个范围,推出最后一个元素不符合这个范围。
数集的界
例题
设 A,B 都是非空有理数集,supA=a,supB=b,定义:
A+B={x∣x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}
求证 supA+B=a+b。
这里我们需要运用数集上界的定义,若 supS=m,
∀x∈S,x≤m。
∀ε>0,∃x∈S,x>m−ε。
因此,先说明第一条性质。
∀x∈(A+B),x=x1+x2≤a+b
接着第二条性质,我们先选择一个任意的 ε>0:
则根据 A,B 满足第二条性质,先固定 ε,我们有:
∃x1∈A,x1>a−ε/2∃x2∈B,x2>b−ε/2
因此:∃x∈S,x=x1+x2>a+b−ε,这就说明了第二条性质成立。
这里我们主要运用了选择 ε 的任意性。
同样的,当 x1,x2≥0,我们可以证明 supA×B=supA×supB。
例题
如何证明任何非空且有下界的数集有下确界,……上……
提示:运用实数的分割。