微分方程的概念

微分方程的概念

微分方程的阶数

导数的最高阶数。

通解，特解和定解条件

通解是包含 $n$ 个独立常数的解，需要 $n$ 个定解条件才能确定特解。

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

齐次微分方程

$y'=g(y/x)$

令 $u=y/x$，得到：

$\frac{\mathrm d u}{g(u)-u}=\frac{\mathrm d x}{x}$

$xy'=\sqrt{x^2+y^2}+y$

$y'=\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}+\frac{y}{x}$

带系数的方程

$y'=f(ax+by+c)$

直接替换

$y'=f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2})$

当 $c_1=c_2=0$ 时，是一个齐次方程，可以求解，剩下的情况我们希望转换到 $c_1=c_2=0$。于是解方程即可。

一阶线性微分方程

$y'+P(x)y=Q(x)$

$y=e^{\int -P(x)\mathrm d x}(\int Q(x) e^{\int P(x)\mathrm d x}\mathrm d x+C)$

常数变易法。

通解是：

$\overline{C} e^{-\int P(x)\mathrm d x}$

$y'+P(x)y=Q(x)y^\alpha$

令 $y^{1-\alpha}=z$，则 $z'=(1-\alpha)y^{-\alpha}y'$。

可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$

$y''=f(x,y')$

缺项型，令 $y'=p(x)$。

$y''=f(y,y')$

令 $dy/dx=p(y)$。

二阶变系数微分方程

$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$

$y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p(x)\mathrm d x}\mathrm d x$

判断形式+求一个解。

欧拉方程