积分常见反例

狄利克雷函数

任意区间上不可积。

闭区间 $[a,b]$ 上的一致连续函数、分段连续函数和单调函数都是可积函数。

改变有限个单点函数值

破坏了连续性，但是积分性质不改变。挖掉一个点，积分性质也不改变。

$x \to \infty$，积分值有极限的函数

这种函数说明 $f(x)$ 不一定趋于 $0$，也可以不存在。

但是，如果存在的话，一定是 $0$，可以由保号性得知……

积分中值定理

条件：$g(x)$ 不变号

原函数存在，但是不可积

如 $y=\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x^2}$。