常微分方程

捕鱼问题

捕捞强度系数

$\frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}=-qN$

自然死亡率

$\frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}=-rN$

初始条件

$N(0)=N_0$

得到：

$N(t)=N(0)\times e^{-(q+r)t}$

物体冷却的数学模型

$u(0)=150\degree C,u(10)=100\degree C$。

空气温度：$u_a=24\degree C$。

牛顿冷却定律：一个物体的温度变化速度与温度差成正比。

$\frac{\mathrm d u}{\mathrm d t}=-k(u-u_a)$

$u=u_a+(u_0-u_a)e^{-kt}$

Logistic 模型

令 $P$ 为种群规模，$t$ 代表时间，该模型用以下微分方程表示：

$\frac{\mathrm d P}{\mathrm d t}=rP(1-\frac{P}{K})$

其中 $r$ 为种群（人口）增长率，$K$ 为环境承载力。

则：

$P(t)=\frac{KP_0e^{rt}}{K+P_0(e^{rt}-1)}$