构建函数与多阶导数的关系

定义法

$f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，只需要求单点导数的时候，用定义更加方便。

这表明了在邻域内，$f(x)-f(x_0)$ 被框定在 $(x-x_0)f'(x_0)$ 的范围之内，而且注意这个只能推断出 $f(x)$ 与 $f(x_0)$ 的关系，例如 $f'(x_0)>0$，根据保号性存在一个右邻域，其中 $f(x)>f(x_0)$，但是推不出这个右邻域中 $f(x)$ 单增。同样的，函数在一点可微，只能保证 $f(x)$ 在 $x_0$ 邻域连续。

经常，我们使用 $n-1$ 次洛必达之后，最后一次因为不能保证高阶导数连续，于是需要使用导数的定义。

罗尔定理

我们复习罗尔定理：条件是 $C[a,b],D(a,b)$，$f(a)=f(b)$，推出 $f'(\xi)=0$，本质是由费马定理推出的。

推广罗尔定理，第一种是端点值无定义的类型，推广函数定义即可，推广函数定义的内核思路是让函数满足连续性，这个思路在各种导数题比较常见。第二种是趋于无穷的类型。这种需要结合罗尔定理的证明过程，本质是找到一个区间内的最值。现在我们有 $f(x_0)=A$，$\lim_{x \to +\infty}f(x)=A$，我们找到一个 $f(x_1)>/<f(x_0)$，框定一个范围，使得后面 $f(x)$ 不能成为最大值/最小值，就可以证明最值一定在区间内取到。

关于罗尔定理怎么构造函数，最简单的情况是 $f'(x)+g(x)f(x)=0$，构造 $e^{\int g(x)} f(x)$ 就 OK 了。

拉格朗日定理

$\Delta f=\Delta x f'(\xi)$

这就告诉我们，$f'(\xi)$ ，即导函数的值将 $\Delta f$ 框定在 $\Delta x$ 的范围之类。这个可以和压缩映射联系在一起，可以证明如果导函数绝对值小于 $1$，那么 $a_n=f(a_{n-1})$，$a_n$ 趋于 $f(x)$ 唯一的不动点（如果有两个不同不动点根据拉格朗日是矛盾的）。

如果$f(x)$ 定义在 $[a,b]$ 上，$f'(x)$ 有界，推出 $f(x)$ 有界。但是 $f(x)$ 有界并不能说明 $f'(x)$ 有界，反例是 $f(x)=\sqrt{x}$，$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 在 $[0,1]$ 上无界，原因是 $\xi$ 并不会覆盖整个定义域。

泰勒公式

如果我们知道了很多不同阶导数，就可以通过泰勒公式关联这些导数，得到 $f(x)$ 的表达式。

关于泰勒公式，我们还有一个很有意思的函数：$f(x)=e^{-1/x^2},x\not=0;0,x=0$。这个函数在 $0$ 处取到极值，并且各阶导数在这点的导数全部为 $0$（想到一道要求很高阶导数的高考题，最后求出来某一阶导数大于零，才能回推 $f(x)$ 的符号）。我们使用泰勒公式展开：

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\cdots+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-0)^{(n+1)}$，这样看起来起作用的只有最后一项拉格朗日余项。类似的，如果 $f^{(i,i<n)}(x_0)$ 全部为 $0$，而 $f^{(n)}(x_0)\not=0$，可以推出 $f(x)$ 是 $x-x_0$ 的 $n$ 阶无穷小。

洛必达法则

如果 $f(x)$ 存在一个 $n$ 阶导数有界，则 $\lim_{x\to+\infty}f(x)e^{-x}=0$。

一个小 tip，与标题无关

看到AA BB的形式，需要想到创建 AB 或者 BA 的中间体。这个方法甚至在线代中都有用。

例如：$f(x)$ 在 $[a,b],a>0$ 有定义且单增，而且 $xf(x)$ 在 $[a,b]$ 单减，证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

$\forall x_1,x_2 \in [a,b],x_1<x_2$ 得到 $x_1f(x_1)>x_2f(x_2)$，想到增添中间项，$(x_1-x_2)f(x_1)>x_2(f(x_2)-f(x_1))$。

想要证明连续，就要使用夹逼定理，证明 $x_1-x_2 \to 0$ 时，$f(x_2)-f(x_1) \to 0$，我们通过 $f(x_1)<f(x_2)$，$x_1f(x_1)>x_2f(x_2)$ 确定 $f(x_1)$ 的符号为负，$x_2$ 符号由题为正，然后就可以夹逼了。