高数第四弹高阶导数，反函数的导数

高阶导数

我们经常使用数学归纳法，下面是几个常用的公式。

\sin/\cos^{(n)}(x)=\sin/\cos^{(n)}(x+\frac{\pi}{2}n)\\ (a^x)^{(n)}=a^x \ln^{n}a\\ (x^a)^{(n)}=a(a-1)\cdots(a-n+1) x^{a-n}=n!C_a^n x^{a-n}\\ f^{(n)}(ax)=a^n f^{(n)}(x)

事实上，更好的是记忆一般情况：

((ax+b)^\alpha)^{(n)}=a^n \times \cdots

对于含对数函数的情况，进行一次求导，就可以转化为一般情况：

(\log_\alpha(ax+b))^{(n)}=(a\log_\alpha e \ln(ax+b))^{(n)}=a^n \log_\alpha e (-1)^{n-1} (n-1)! (ax+b)^{-n}

莱布尼兹公式：

(f(x)g(x))^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_{n}^k f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)

可以使用数学归纳法证明，核心是杨辉三角： $C_{n}^k + C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ 。

莱布尼兹公式的形式有 $n$ 项，看似不好处理，但是如果我们合理分配 $f(x),g(x)$ ，使得其中一个是有限次多项式，保证很多项为 $0$ ，就可以大大减少莱布尼兹公式的项数。

求 $n$ 次导数需要注意的点：

是否单点求值，如果求单点的值，在求导的过程中合理代入，可以凑出很多 $0$ 项，减少计算量。如果是单点求值，还可以把要求的函数转换为递推形式。
是否函数都有 $n$ 阶导数，否则，不能求导次数过高。

如何更快地求出高阶导数

求某一点 $x_0$ 的高阶导数，最好能够凑出 $(x-x_0)^\alpha$ 的因式，因为根据莱布尼兹公式，只有求到 $\alpha$ 次导数的时候，这个因数的导数值才不为 $0$ ，于是就只剩下一项。

例如： $f(x)=(x^2-3x+2)^n\cos \frac{\pi x^2}{16}$ ，求 $f^{(n)}(2)$ ，分解为 $(x-2)^n \times (x-1)^n \cos \frac{\pi x^2}{16}$ ，于是只剩下 $C_n^{n} n! ((x-1)^n \cos \frac{\pi x^2}{16})|_{x=2}=\frac{\sqrt{2}}{2} n!$ 。
间接求导数：我们通过两种不同的方式将 $f(x)$ 展开，根据泰勒公式系数的唯一性，可以推知两个公式的对应系数相等，就求出了导数。

例如，求 $y=e^{x^2+2x}$ ， $y^{(10)}(-1)$ 。

a. 泰勒公式通过定义展开： $f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k +o((x-x_0)^{k+1})$

b. 另一种展开方法。我们观察到 $(x+1)$ 是无穷小，或者我们换元 $t=(x+1)$ ，那么可以把 $y$ 改写为 $e^{(x+1)^2}/e$ ，将 $(x+1)^2$ 看成框框，我们得到 $y=\frac{1}{e} (1+(x+1)^2+\frac{(x+1)^4}{2!}+\frac{(x+1)^6}{3!}+\cdots+\frac{(x+1)^{10}}{5!}+o((x+1)^{10}))$ 。另一方面，观察 $y$ 在 $(x+1)^{10}$ 的系数，正是 $f^{10}(-1)/10!$ ，那么 $f^{10}(-1)=\frac{10!}{e \times 5!}$ 。

$y=\frac{1}{x^2-3x}$ ，求 $y^{(n)}(1)$ 。

令 $t=x-1$ ，构造出若干 $1/(1-\varphi(t))$ 即可，保证 $\varphi(t)$ 是无穷小。

$f(x)=(x+a)^2\ln(x+a)$ ，求 $f^{(n)}(a)$ 。

还是令 $t=x-1$ ，将 $\ln(x+a)$ 转化为 $\ln2a+\ln(1+\frac{t}{2a})$ 即可。

另外一种间接展开法，就是暴力将某个函数展开为一个多项式加上一个 $x^{n+1}$ 阶余项的做法，比如展开 $1/(1-x)$ 和多项式。基础也是泰勒展开式的唯一性。
利用递推关系求高阶导。先将原函数化为函数方程的形式，最好化为多项式函数之类的，如： $f(x)=\arctan x \Rightarrow f'(x)(1+x^2)=1$ ，然后用莱布尼兹公式，得到 $f^{(n)}(x),f^{(n-1)}(x),\cdots$ 的关系。