一些线性代数方法解微分方程的思路

我们假设 $f$ 的泰勒级数表示是：

f=a_0+a_1x+\cdots a_n x^n

后面余项不要了。考虑表示为矩阵形式（ $x^i$ 系数到 $a_i$ 的转移矩阵）则 $f$ 可以表示为 $E_{i}$ 。

求导操作就是乘一个矩阵 $D_{i,i+1}=i$ ，乘以 $x^s$ 就是乘一个矩阵 $S_{s+i,i}=1$ 。乘以一个函数就用泰勒展开拟合即可。

注意这种方法泰勒展开不能包含 $x^{-i}$ 的项数。比如求 $xy''+y'=4x$ ，答案应该是 $x^2+C_0\ln|x|+C_2$ ，但是求不出 $\ln|x|$ ，因为“展不开”。但是我们可以求 $(x+1)y'=1$ ，因为 $\ln(x+1)$ “可展开”。

而且这种方法不能处理类似于 $yy'$ 之类的项，因为会出现 $a_ia_j$ ，不符合线性方程。这就是线性微分方程好求的原因，而且其解满足“解的结构”

齐次方程好求，这里主要讨论非齐次方程。

不妨设 $f(x)=Pe^{\lambda x}$ ，其中 $P$ 既可以看做待定系数多项式，也可以看做矩阵。则

f'(x)=(\lambda P+DP)e^{\lambda x}

待定系数求解即可。

设 $f(x)=[P\cos \beta x+Q\sin \beta x]e^{\alpha x}$ ，这时，我们需要设两组系数 $a$ 和 $b$ ，于是需要表示为分块矩阵的形式

P=[P_1 \ P_2], P_1:x\to a,P_2:x\to b

Q=[Q_1\ Q_2],Q_1:x \to a,Q_2:x\to b

DP=[DP_1,DP_2]

f'(x)=[(DP+\alpha P+\beta Q)\cos \beta x+(DQ+\alpha Q-\beta P)\sin \beta x]e^{\alpha x}

考虑最终怎么待定系数求解，我们有方程：

P_1a+P_2b=P\\Q_1a+Q_2b=Q

这也是一个分块矩阵的形式，

\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} \in \left[ \begin{array}{c|c} \begin{matrix} P_1 & P_2\\ Q_1 & Q_2\\ \end{matrix} & \begin{matrix} P\\Q \end{matrix} \end{array} \right ] 基础解系

\begin{bmatrix} P_1 & P_2\\ Q_1 & Q_2\\ \end{bmatrix}

什么时候非奇异？当齐次方程的所有基础解组都不是 $[P(x)\cos \beta x+Q(x)\sin \beta x]e^{\alpha x}$ 形式时。