n维向量与线性方程组解的结构

向量的性质：

加法交换律
加法结合律
零元存在
负元存在（其中零元、负元都是向量）
$1\cdot\alpha=\alpha$
$(kl)\alpha=k(l\alpha)$
$(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$
$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

线性组合

向量的线性组合 $\beta=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) (k_1,k_2,\cdots,k_n)^T$ 。 $\beta$ 由 $\alpha_1\cdots\alpha_n$ 线性表示。是否可以线性表示的问题可以转换为 $k_1,\cdots,k_n$ 是否有解，即 $r(A)$ 与 $r(\tilde A)$ 的关系。

向量组的等价

向量组的等价： $\alpha_1\cdots\alpha_s$ 和 $\beta_1,\cdots,\beta_t$ 可以互相表示。 $\beta_1,\cdots\beta_t$ 可以由 $\alpha_1,\cdots\alpha_s$ 线性表示的充要条件：构造两个矩阵 $A=(\alpha_1,\cdots \alpha_s),B=(A,\beta_1\cdots,\beta_t)$ ，使得 $r(A)=r(B)$ 。

向量组的等价具有传递性。

线性相关与线性无关

$0$ 可以由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 以及不全为 $0$ 的 $k$ 表示，则称 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 线性相关。相当于齐次线性方程组有非零解。

在向量个数上，线性相关性可以推大；在向量组成上，线性相关性可以推小。

在向量个数上，线性无关性可以推小；在向量组成上，线性无关性可以推大。（截短向量线性无关，则接长向量线性无关）

$\alpha_1,\cdots\alpha_m$ 线性无关的充要条件是其中一个向量能够被其它向量线性表示。

向量组中加入一个向量后线性相关，则加入的向量能够被其余向量线性表示，而且系数唯一。

向量组的秩

极大线性无关组：

线性无关。
能够线性表示其它向量。

那么向量组与它的极大线性无关组等价，这个向量组的任意两个极大线性无关组之间都等价。

$[\alpha]$ 能够被 $[\beta]$ 线性表示，而且 $s>t$ ，证明 $[\alpha]$ 线性相关。

利用矩阵 $C_{t\times s}$ ， $(\alpha)=(\beta)C_{t\times s}$ ，而且 $C_{t\times s}(k)=0$ 存在不全为 $0$ 的解。

那么 $(\alpha)(k)=(\beta)C_{t \times s} (k)=0$ ，得 $[\alpha]$ 线性相关。

如果 $[\alpha],[\beta]$ 等价而且 线性无关，那么可以互相表示，推出 $s=t$ 。

将一个向量组的极大线性无关组所含有的向量的个数称为向量组的秩。线性相关等价于 $r(\alpha)<m$ ，线性无关等价于 $r(\alpha)=m$ 。

矩阵行列向量组成的向量组的秩等于矩阵的秩。

证明： $r(A+B) \le r(A)+r(B)$

矩阵 $A+B$ 的任意列向量可以由 $A$ 的列向量的极大线性无关组与 $B$ 的列向量的极大线性无关组的组合线性表示。

证明： $r(AB) \le \min \{r(A),r(B)\}$

原因是 $AB$ 的任意列向量可以由 $A$ 的列向量的极大线性无关组线性表示， $B$ 取转置即可。

齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组的基础解系是齐次线性方程组的所有解的极大线性无关组。可以给出构造，证明含有 $n-r$ 个向量。 $(\eta)=(-C \ E_{n-r})^T$ 截短向量线性无关推出 $[\eta]$ 线性无关。

非齐次线性方程组的结构

导出组的解+特解 $(\beta_0,O)^T$ 。