高数常见的反例

有理数、无理数分类，狄利克雷函数。

$f(x)=1,x\in Q;-1,x\in R/Q$

$f(x)$ 在任何一点都不连续，不可导。但是 $f(f(x)),|f(x)|,f^2(x)$ 都是连续可导的。如果给你一个 $g(x)$，让 $g(f(x))$ 连续可导，那么构造 $f(x)=x_1,x\in Q;x_2,x\in R/Q$，使 $g(x_1)=g(x_2)$ 即可。

仅在一点连续的函数：

$f(x)=\alpha(x-x_0),x\in Q;\beta(x-x_0),x\in R/Q$

其中 $\alpha \not=\beta$。

仅在一点连续可导，换成平方即可。

数列中经常能见到的反例：四则运算法则只能有限次：

$\lim_{n \to \infty} a_n=0,\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=0? a_n=1/2^n$

迭代的形式 $a_{n+1}=f(a_n)$，而且 $f(x)$ 单调递增有上界/下界，不能推出 $a_n$ 收敛，因为 $f(x)$ 单增只能推出 $a_n$ 单调，单调性取决于前两个数的大小关系。如果 $f(x)$ 单调递减，还要考虑震荡的情况。

一个好用的反例：

$f(x)=0,x=0;x^a\sin\frac{1}{x^b},x\not=0$

基本思路是 $\lim AB$，其中 $\lim B$ 不存在，那么想让 $\lim AB$ 存在，必须让 $\lim A=0$。（当然也有反例，但本题不考虑 $\lim A$ 不存在的情况）

$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续 $\Leftrightarrow$ $a>0$。原因是 $\lim x^a=0$。

$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导 $\Leftrightarrow$ $a>1$。利用导数定义。

$f'(x)$ 在 $[-1,1]$ 有界 $\Leftrightarrow$ $a\ge b+1$。再求一次导。

$f'(x)$ 在 $(-1,1)$ 连续 $\Leftrightarrow$ $a>b+1$。现在 $x^{a-1}$ 一定是无穷小，但是需要让 $x^{a-b-1}$ 是无穷小。

$f'(x)$ 在 $x=0$ 处可导 $\Leftrightarrow$ $a>b+2$。再次利用导数的定义。

怎么用呢，比如我们希望构造一个在 $[-1,1]$ 上连续可导，但是导函数无界的函数，则需要满足 $a>0,a>1,a<b+1$，构造 $a=3/2,b=1$ 即可。

这个函数还有一个特殊的性质：除了 $0$ 之外，没有最小的零点；同样的，导数也是如此。这有点类似于仿射的概念，$\sin x$ 没有最大的零点，那么令 $t=1/x$，$\sin 1/t$，没有最小的零点。

导函数无界，函数有界。

例如 $x^\alpha,0<\alpha<1$，则 $\alpha x^{\alpha-1} \to +\infty$ 当 $x \to 0^+$。构造函数 $|x|^\alpha$，则能够说明函数极值点导数值不一定为 $0$，可以不存在，左右可以趋于无穷。

南桐函数：非零即一，通过这种构造，我们可以构造出一系列取极值但是导数没有定义的函数，还可以构造 $f(x)=1,x=-1;-1,x=1;x,else$，是一个有极值点的函数，使得 $f(f(x))=x$。