保凸操作

非负加权和

$f_1,\cdots,f_m$ 为凸，则 $f=\sum_{i=1}^m \omega_i f_i$ 为凸。

若 $f(x,y)$，对任意 $y\in A$，$f(x,y)$ 均为凸。

若对 $(x,y)$ 都是凸的，则称联合凸。

$g(x)=\sum_{y\in A} \omega(y) f(x,y) \mathrm d y$

为凸。

仿射映射

$f:\R^n \to \R,A\in \R^{n\times m},b\in \R^n$

$g(x)=f(Ax+b),\operatorname{dom} g=\{x\mid Ax+b\in \operatorname{dom} f\}$

两个函数的极大值函数

$f_1,f_2$ 为凸，定义 $f=\max\{f_1,f_2\}$ 定义域为交集。

向量中 $r$ 个最大元素的和

无限个凸函数的最大值

若 $f(x,y)$，对任意 $y\in A$，$f(x,y)$ 均为凸。

$g(x)=\sup_{y\in A} f(x,y)$

为凸。