不定积分

一些经常用到的原函数

$\sec^2 x \Rightarrow \tan x,\csc^2 x\Rightarrow -\cot x$

$\frac{x}{\sqrt{x^2+a}} \Rightarrow \sqrt{x^2+a}$

一些需要记忆的基本不定积分

$\int \tan x \mathrm d x=-\ln|\cos x|+C,\int \cot x\mathrm d x=\ln|\sin x|+C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm d x=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C\\ \int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\mathrm d x=\ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C(注意是x)$

$\int \frac{1}{a^2-x^2}\mathrm dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C\\ \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin(\frac{x}{a})+C$

$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm d x=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\\ \int\frac{1}{x^2-a^2}=-\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$

$\int \sec x \mathrm d x=\int \frac{\sec^2 x+\sec x \tan x}{\sec x + \tan x}\mathrm d x=\ln |\sec x+\tan x|+C \\ \int \csc x \mathrm d x=\ln|\csc x-\cot x|+C$

$\int \tan^2 x \mathrm d x=\int (\sec^2x-1)\mathrm d x=\tan x-x+C$

$\int \frac{1}{\sin x} \Rightarrow \ln \tan \frac{x}{2}+C$

• 注：没有规定变量的范围，如果我们求定积分：

$\int _0^{2a}\frac{1}{\sqrt{|x^2-a^2|}}\mathrm d x$

这就需要我们分段讨论。

积分的线性性

$\int f+g\mathrm d x=\int f\mathrm d x+\int g\mathrm d x$

拆分分子。

第一类换元法

总结为识别出换元的形式。

$\int f[\varphi(x)] \varphi'(x) \mathrm dx=\int f[\varphi(x)]\mathrm d[\varphi(x)]=F(\varphi(x))+C$

本质在于换元。我们常用：

$\int f(ax+b)\mathrm d x=\frac{1}{a} \int f(ax+b) \mathrm d(ax+b)$

一个技巧是构造：

$\int \frac{f'}{f} \mathrm dx$

如：

$\int \sec x \mathrm d x=\int \frac{\sec^2 x+\sec x \tan x}{\sec x + \tan x}\mathrm d x=\ln |\sec x+\tan x|+C \\ \int \csc x \mathrm d x=\ln|\csc x-\cot x|+C \\ \int \tan x\mathrm d x=\ln|\cos x|+C$

凑微分法

这里和积分有点不一样，是比较简易型的求原函数，如：

$\mathrm d x=\frac{1}{a}\mathrm d (ax+b)(a\not=0)$

$x\mathrm d x=\frac{1}{2}\mathrm d (x^2\pm a^2)=-\frac{1}{2}\mathrm d (a^2-x^2)$

$\sin x\mathrm d x=-\mathrm d \cos x$

$\cos x\mathrm d x=\mathrm d \sin x$

$\frac{1}{x}\mathrm d x=\mathrm d \ln|x|$

$e^x\mathrm d x=\mathrm d e^x$

第二类换元法

总结为主动换元。令 $x=\varphi(t)$，其中，不一定要强制代入反函数，可以观察形式，列出方程，来求解，但是需要千万注意的是最后的答案不能含 $t$。

$\int f(x)\mathrm d x=\int f[\varphi(t)] \varphi'(t) \mathrm d t=F(t)+C=F(\varphi^{-1}(x))+C$

处理 $\sqrt{x^2\pm a^2},\sqrt{a^2\pm x^2}$ 可以三角代换。

1. $\sqrt{x^2+a^2}$，令 $x=a\tan t$，则 $\sqrt{x^2+a^2}=a\sec t$。
2. $\sqrt{x^2-a^2}$，令 $x=a\sec t$，则 $\sqrt{x^2-a^2}=a\tan t$。
3. $\sqrt{a^2-x^2}$，令 $x=a\cos t$，则 $\sqrt{a^2-x^2}=a\sin t$。

回代过程中我们经常遇到各种反三角函数，它们的关系是：

\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}=C \\ \arcsec x =\arccos \frac{1}{x},\arccsc x=\arcsin\frac{1}{x}\\ \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}=C

求：

$\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\int \frac{\mathrm d(a\tan t)}{a \sec t}=\int \sec t\mathrm d t=\ln|\sec t+\tan t|+C=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$

这个结果可以记忆。

类似的：

$\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$

求：

$\int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm d x=\frac{a^2}{2} \int (1+\cos 2t)\mathrm d t=\frac{a^2t}{2}+\frac{a^2\sin t\cos t}{2} +C$

注意到 $t=\arcsin \frac{x}{a},\cos^2t+\sin^2 t=1,\cos t=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$，代入即可得到：

$\int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm d x=\frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a}+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C$

这个结果可以记忆。

现在我们还差 $\int \sqrt{a^2+x^2}\mathrm dx$ 没求，这个结果会在分部积分里面讲到。也可以：

$x=\tan t,\int\sqrt{a^2+x^2}\mathrm d x=a^2\int \sec^3 t\mathrm d t=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2+x^2}+a^2\ln(\sqrt{a^2+x^2}+x))+C$

求：

$\int \frac{b_2 x+c_2}{\sqrt{a_1x^2+b_1x+c_1}} \mathrm d x$

一般化为 $\alpha \int \frac{2a_1x+b_1}{\sqrt{a_1x^2+b_1x+c_1}} \mathrm d x+\beta \int \frac{1}{\sqrt{a_1x^2+b_1x+c_1}} \mathrm d x$。前面就是 $\alpha/2 \sqrt{a_1x^2+b_1x+c_1}$，后面可以转化为 $\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$ 的形式。

倒置换

求：

$\int \frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x$

使用 倒置换，令 $x=\frac{1}{t}$，则：

$\int \frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}} \mathrm d x = \int \frac{-\frac{1}{t^2}\mathrm d t}{\frac{1}{t}\sqrt{\frac{a}{t^2}+\frac{b}{t}+c}}=-\int \frac{\mathrm d t}{\sqrt{ct^2+bt+a}}$

然后继续换元。比如说把分子变成 $\sqrt{(mx+n)+p^2}$ 的形式，然后再转换为 $p\sqrt{(\frac{m}{p}x+\frac{n}{p})^2+1}$。

一般是看到分母的次数比较高，就要使用倒置换

求不定积分：

$\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{x(1-x)}}$

转换为：

$\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{\frac{1}{4}-(\frac{1}{2}-x)^2}}=2\int\frac{\mathrm d x}{\sqrt{1-(1-2x)^2}} = -\int \frac{\mathrm d(1-2x)}{\sqrt{1-(1-2x)^2}}=\arcsin(1-2x)+C$

这种题还有特殊做法，当分子可以因式分解为 $(x-a)(b-x)$，可以换元 $x=a\sin^2t+b\cos^2t$。

求

$\int x\sqrt{x^2+px+q}\mathrm dx$

凑 $\mathrm d (x^2+px+q)$。

二倍角公式换元

$\cos x+1=2\cos^2\frac{x}{2}$

如果在分子上，想要降次，则右推左，如果在分母上，想要拆项，则左推右，如：

$\int \cos^2 x\mathrm d x,\int x\cos^2x \mathrm d x$

$\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x}\mathrm d x$

这个换元的核心思想是：如果换元在分子上，我们可以通过拆分积分的方式，得到几个比较简单的子积分，但是在分母上，就没有什么办法，所以要把分母变成“一个”。

分部积分

$\int u \mathrm d v=uv-\int v\mathrm d u$

优先次序：对数、反三角(怕积分的)<多项式<指数、三角（求完还是它本身）。

分部积分凑微分

例如，我们看到 $\int xe^x \mathrm d x$，就要首先想到转换为 $\int x\mathrm d e^x$。

考虑数域 $\{e^{ax}\cos bx,e^{ax}\sin bx\}$，其对求导与不定积分封闭，

做题的时候，可以考虑 $\sin x,\cos x$ 的共轭对，即对两个共轭的函数进行积分，得知互相的关系。凑微分的时候，可以放在一起凑。

事实上：

$(P(x)\cos bx+Q(x)\sin bx)e^{ax}$

都是封闭的，我们可以待定系数求解。

经常出现的形式：

$\frac{f'}{f} \Rightarrow \ln f$

$\frac{f'}{1+f^2} \Rightarrow \arctan f$

$\frac{1}{1+x^2}\Rightarrow \arctan x$

$-f'/f^2\Rightarrow 1/f$

递推+分部积分


两种方法：第一类换元法，分部积分法，这里特别注意的是我们熟练运用 $\sec x,\tan x$ 的关系：

$\sec x'=\sec x\tan x\\ \tan x'=\sec^2 x\\ \tan^2 x+1=\sec ^2 x$

更进一步的，我们还可以求出：

$\int \sec^5 \mathrm d x=\sec^3 x\tan x-\int \tan x\mathrm d \sec^3 x\\ =\sec^3 x\tan x-3\int \tan x \sec x \tan x \sec^2 x\mathrm d x\\ =\sec^3 x\tan x-3(\int \sec ^5x-\int \sec ^3x)$

即可转化为上面的结果。

一些比较常规，经常出现的分部积分

求：

$\int \ln x \mathrm d x=x\ln x-\int x \mathrm d\ln x=x\ln x-x+C$

因此，任意底数 $a$ 就除一个 $\ln a$ 就行。

求：

$\int \ln(x+\sqrt{x^2+a})\mathrm d x = x\ln(x+\sqrt{x^2+a}) - \int \frac{x}{\sqrt{x^2+a}} \mathrm d x = x\ln(x+\sqrt{x^2+a})-\sqrt{x^2+a}$

求：

$\int \arctan x \mathrm d x$

可以与上面类似的方法做出来，但是也可以令 $x=\tan \theta$，得：

$\int \theta \mathrm d \tan\theta=\theta\tan\theta-\int \tan\theta \mathrm d \theta$

一般一眼看上去全是反三角函数比较适合换元。

凑分部积分的方法

再次观察公式：

$\int u \mathrm d v=uv-\int v\mathrm d u$

可以看到比较重要的是选择 $\mathrm d v$ 和选择好的 $u$ 使得 $\mathrm d u$ 比较简洁或者和 $v$ 抵消。

凑 $u$

对 $\ln(\sin/\cos/\tan x)$ 敏感，因为其求导之后三角函数的形式比较简洁。所以分部积分，我们尽量凑出

$\int \ln(...)\mathrm d v$

这就是巧妙选择了 $u$。

凑 $v$

分部积分法还有很重要的一点是 $\mathrm d v$ 的选取，尽量能够看出被积函数中长得像某个函数的导数的东西。

$\int \frac{x \ln x}{\sqrt{(x^2-1)^3}} \mathrm d x$

需要发现 $\mathrm d(-(x^2-1)^{-\frac{1}{2}})$……剩下的部分是倒置换。

一道比较相近的题：

$\int \frac{\ln x}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \mathrm d x$

但是此时看到分子没有带 $x$，另寻别的换元的方法：

$x=\tan t\\ \Rightarrow \int \ln \tan t\mathrm d \sin t$

$\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)}\mathrm d x$

$2\int \arctan \sqrt{x}\mathrm d \arctan \sqrt{x}=(\arctan \sqrt{x})^2+C$

$\int \frac{x\tan\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm d x$

$-f'(x)/f^2(x)$ 形式

求

$\int\frac{1-\ln x}{x^2}\mathrm d x$

这里需要使用代换 $\frac{1}{x^2}\mathrm d x=\mathrm d (-\frac{1}{x})$。

这里，我们可以尝试着发现一些类似于 $-f'(x)/f^2(x)$ 和 $f'(x)/f(x)$ 的部分，它们的原函数分别为 $1/f(x)$ 和 $\ln|f(x)|$。

计算反常积分：

$\int_0^{+\infty} \frac{xe^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\mathrm d x$

观察到这个等于：

$\int_0^{+\infty} x\mathrm d \frac{1}{1+e^{-x}}$

于是使用分部积分即可。

$\int x\arctan x\ln(1+x^2)\mathrm d x$

我们联想到 $\arctan x,\ln(1+x^2)$ 求导之后都会产生一个 $1+x^2$ 的分母，于是凑出 $\mathrm d (1+x^2)$，简便计算。其实本质上 $x$ 是幂次好处理，于是凑出 $1/2x^2$ 再凑常数。

$\int x e^x\sin x \mathrm d x$

可以把 $e^x\sin x$ 凑微分，也可以观察到是 $P(x)\sin xe^x$ 的形式，待定系数法求解。

微分方程解出来是：

1

[(1/2x)cos(1x)+(1/2x-1/2)sin(1x)]e^1x

$\int e^{-\sin x}\frac{\sin 2x}{\sin^4(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}$

分母降次，

用分部积分处理一些子式不存在初等函数作为原函数的被积函数，通过相减抵消掉不能积分的部分。

$\int \frac{(x-1)e^x}{x^2}\mathrm d x=\int \frac{e^x}{x} \mathrm d x+\int e^x\mathrm d (1/x)=\int \frac{e^x}{x} \mathrm d x+\frac{e^x}{x}-\int \frac{1}{x}e^x\mathrm d x=\frac{e^x}{x}+C$

当然有神仙一眼看出原函数……

$\int \arctan \sqrt{x} \mathrm d x$

比较重要的是配凑常数，得到：

$\int \arctan t\mathrm d (t^2+1)=(t^2+1)\arctan t -t+C$

是为了求导之后刚好能够凑出 $1$。

建立递推关系

求：

$\int \sqrt{x^2+a^2}\mathrm d x$

可以分部积分法，转化为处理：

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}} \mathrm d x$

这个的基本处理手段是拆分分子为 $x^2+a^2-a^2$。

求：

$\int \sec^n x\mathrm d x$

$\int \tan ^n x\mathrm d x$

建立递推关系：

$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\mathrm d t$

$\Gamma(x)=1/x\int_0^\infty e^{-t}\mathrm d t^x=\Gamma(x+1)/x$

$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$

是阶乘的推广。

建立递推关系：

$a_n=\int_0^1 x\ln^n x\mathrm d x$

$a_n=1/2\int_0^1 \ln^n x\mathrm d x^2=1/2x^2\ln x|^1_0-n/2\int_0^1 x\ln^{n-1}x\mathrm d x=-\frac{n}{2}a_{n-1}$

计算：

$\int (1+x-\frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}} \mathrm d x=xe^{x+\frac{1}{x}}+C$

分部积分求解：

设 $f(x)\in C'[0,1]$，而且 $f(0)=f(1)=0$，求证：

$(\int_0^1 xf(x)\mathrm d x)^2 \le \frac{1}{45}\int_0^1(f'(x))^2\mathrm d x$

等号当且仅当 $f(x)=A(x^3-x)$ 时成立，其中 $A$ 为常数。

我们需要用到柯西施瓦茨不等式，但是需要分离 $f'(x)$ 出来，这就需要分部积分。

$\begin{aligned} \int_0^1 xf(x)\mathrm d x&=\int_0^1 f(x)\mathrm d (\frac{1}{2}x^2+k)\\ &=\int_0^1 (\frac{1}{2}x^2+k)f'(x)\mathrm d x \end{aligned}$

这里用 $k$ 是为了凑系数。

然后：

$(\int_0^1 (\frac{1}{2}x^2+k)f'(x)\mathrm d x)^2 \le \int_0^1 (\frac{1}{2}x^2+k)^2\mathrm d x\int_0^1(f'(x))^2\mathrm d x$

而：

$\int_0^1 (\frac{1}{2}x^2+k)^2\mathrm d x=\int_0^1 (\frac{1}{4}x^4+x^2k+k^2)\mathrm d x=\frac{1}{20}x^5+\frac{1}{3}x^3k+xk^2|^1_0=k^2+\frac{1}{3}k+\frac{1}{20}$

极值就是 $1/45$，此时 $k=-\frac{1}{6}$。

柯西施瓦茨取等当且仅当 $f'(x)=\lambda(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6})$，就可以得到 $f(x)=A(x^3-x)+C$，而 $C=0$ ，因为 $f(0)=0$。

欧拉换元法

$\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm(t-\sqrt{a}x)=\pm(tx-\sqrt{c})=t(x-\alpha)=(x-\beta)t$

其中 $\alpha,\beta$ 是两根。核心是写成 $mx+n$ 的形式。同时让 $x$ 的表达式不太过复杂。s

有理函数积分

常规方法

$\int \frac{1}{x^2+px+q} \mathrm d x$

凑成 $\int \frac{\mathrm d u}{u^2\pm a^2}$。

$\int \frac{x}{x^2+px+q}\mathrm d x$

凑分母导数：$2x+p$。

$\int \frac{x^2}{x^2+px+q}\mathrm d x$

首先分子降次，转化为前两种情况。

技巧

有几种非常重要的方法：

1. 待定系数法（最为常规）。
2. 凑“假分式”，即对分子进行拆分。
3. 倒置换，一般分母比较大。
4. 换元 $x\pm \frac{1}{x}$，一般出现在分子的最高次数是 $2$，分母的最高次数是 $4$ 时，上下同除 $x^2$。

求：

$\int \frac{\mathrm dx}{x(x^{10}+1)}$

可以使用凑微分法，碰到 $x$ 在分母和次数特别高的其他项 $x^{kr}$，就要上下同乘 $x^{r-1}$。

可以使用凑假分式法，

$\int \frac{1+x^{10}-x^{10}}{x(x^{10}+1)}\mathrm d x =\ln|x|-\frac{1}{10}\ln(x^{10}+1) +C$

求：

$\int \frac{1}{x^8(1+x^2)}\mathrm d x$

可以倒置换。

也可以拆项：

$\int \frac{1-x^8+x^8}{x^8(1+x^2)}\mathrm d x=\int (1-x^2+x^4-x^6)/x^8+\frac{1}{1+x^2}\mathrm d x$

组合积分

求：

$\int \frac{\mathrm dx}{x^4+1},\int \frac{x^2}{x^4+1}\mathrm d x$

构造一对积分：

$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}+C$

$-\frac{1}{2}\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{(x+\frac{1}{x})^2-\sqrt{2}}{(x+\frac{1}{x})^2-\sqrt{2}}\right|$

也可以配方法：

$\int \frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)} \mathrm d x$

另外，比较好求的是：

$\int \frac{x}{1+x^4}\mathrm d x=\frac{1}{2}\arctan(x^2)+C$

$\int \frac{x^3}{1+x^4}\mathrm d x=\frac{1}{4}\int \frac{\mathrm d x^4}{1+x^4}=\frac{1}{4}\ln(1+x^4)+C$

求

$\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} \mathrm d x$

代换的时候，特别注意 $\sqrt{x}=x^\frac{1}{2},\sqrt[3]{x}=x^\frac{1}{3}$，两者取“公因数” $x^\frac{1}{6}$，于是应该这样换元……

求

$\int\frac{1}{x^4+x^6}\mathrm d x$

主要问题是如何分解，注意到分母分解为 $x^4(x^2+1)$，然后乘一个 $(x^2-1)$，就可以进行裂项……

求

$\int \frac{1}{x^6+1}\mathrm d x$

拆分：

$\int \frac{1}{1-x^2+x^4}\mathrm d x-\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm d x^3}{x^6+1}$

再处理左边的，拆分：

$\int \frac{1+x^2}{1-x^2+x^4}\mathrm d x,\int \frac{1-x^2}{1-x^2+x^4}\mathrm d x$

求

$\int \frac{1+x^4}{1+x^6}\mathrm d x$

$(1+x^6)=(x^2+1)(x^4-x^2+1)$。凑出来 $x^4-1+2$，就可以转化为上面的积分。

三角函数有理式

$\int R(\sin x)\cos x\mathrm d x/\int R(\cos x)\sin x \mathrm dx$

第一类换元法

$\int R(\sin^2x,\sin x\cos x,\cos^2 x)\mathrm d x$

令 $\tan x=u$，则 $\mathrm d u=\sec^2x\mathrm d x$，将 $\mathrm dx=\frac{\mathrm du}{\sec^2 x}$ 代回原式。然后全部转化为 $\sec x,\tan x$ 的式子，最后运用 $\tan^2 x +1=\sec^2 x$ 即可。

• $\sin^2 x=\frac{\tan^2x}{\tan^2x+1}$。
• $\cos^2x=\frac{1}{1+\tan^2x}$。
• $\sin x\cos x=\sqrt{\sin^2x\cos^2x}=\frac{\tan{x}}{1+\tan^2x}$。
• $\mathrm d x=(1+\tan^2u)\mathrm d u$。

求：

$\int \frac{1}{(3\sin x+2\cos x)^2}\mathrm d x$

积化和差

降幂

无分数：降幂，有分数：凑 $\mathrm d \tan x$，奇数次幂：凑不同三角函数。优先统一角度。

$\int \sin^4 x\cos ^2 x\mathrm d x$

降幂的公式：

$\sin x \cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\\ \cos^2 x=\frac{1}{2}(\cos2x+1)$

$\int 5(2x+\sin 2x)\cos^2x\mathrm d x$

基本方法：多次降幂即可。本质是化归的思想，$P(x)\sin x$ 我们会积，$\sin ax,\cos bx$我们也会积，就要转化为这样的形式。

凑微分方法：$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}=(2x+\sin 2x)'/4$。

万能代换

$t=\tan \frac{x}{2}$：

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\mathrm dx=\frac{2\mathrm d t}{1+t^2}$

通常使用：分母三角函数幂次低。无法丢掉分母常数的时候只能用万能公式。

共轭组

$px+q\ln(2\sin x+\cos x)+C$

分母处理

• $/(\sin x-1)$，上下同乘 $\sin x+1$，然后进行拆分。
• $/(\cos x+1)$，转化为 $2\cos ^2\frac{x}{2}$。
• $/(\sin x \pm \cos x)$ 辅助角公式。

无理函数积分

一般思想是替换根号内的数，采用第二换元法。

例如：

$\int x^2 \sqrt[3]{1-x}\mathrm d x$

$\int \sqrt{\tan x }\mathrm d x$

令 $t=\sqrt{\tan x},x=\arctan (t^2)$。

$\int t\frac{1}{1+t^4}2t\mathrm d t=2\int \frac{t^2}{1+t^4}\mathrm d t$

$\int_0^1 x\sqrt{(1-x^4)^3}\mathrm d x$

换元 $x^2=\sin t$，可以转化为

$\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^3t\cos t\mathrm d t$

不能用初等函数表示出的积分

$\int \frac{\sin x}{x+A}\mathrm d x,\int \frac{\cos x}{x+B}\mathrm d x,\int e^{\pm x^2}\mathrm d x,\int \frac{1}{\ln x}\mathrm d x,\int e^{\sin x/\cos x}\mathrm d x,\int \sin x^2\mathrm d x$