高数第四弹 函数的极限

定义

存在实数 $A$，$\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0,0<|x-a|<\delta$ 时：

$|f(x)-A|<\varepsilon$

含有无穷大的表述类似，这里就不写了。我们算了一下，$x$ 可以趋近的取值有 $a,\pm \infty,\infty,x_0^{\pm}$，而 $f(x)$ 可以趋近的取值有 $A,\pm\infty,\infty$，一共 $24$ 种定义。

注意这里要排除 $a$ 这个点，因此我们说：当 $x \to 0$，$y=x,x\not=0;1,x=0$ 和 $y=x$ 有相同的趋势。

用定义证明，我们通常先分析 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 对 $x$ 的范围有什么要求，根据这个要求推出 $\delta$。我们也喜欢将 $|f(x)-A|$ 写成 $|x-a|^\alpha \times g(x)$ 的形式，然后对 $g(x)$ 进行放缩，如果 $g(x)$ 是 $0/0$ 的形式，还要对分子分母提取公因式。

证明极限是正/负无穷，我们经常放缩，让 $f(x)$ 小于一个趋于负无穷的式子，或是大于一个趋于正无穷的式子。

例题

用定义验证 $\lim_{x\to-\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1$。

我们任意给定 $\varepsilon$，使得 $|\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+1|<\varepsilon$，相当于 $|\frac{1}{x}| \times |\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}|<\varepsilon$，分析 $x \to -\infty$，$\sqrt{x^2+1}-x$ 大于 $2x$，于是我们取 $X=-\frac{1}{\sqrt{2\varepsilon}}$。

海因定理

此定理类似于数列的归并性。

$\lim_{x\to x_0} f(x)=A(\varepsilon,\delta)$ 的充要条件是：

对于任何满足 $x_n \not=x_0 (n = 1,2,\cdots)$ 而且 $\lim_{n\to\infty} x_n=x_0(U^\circ(x_0),G)$ 的数列 $\{x_n\}$，都有 $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=A(N,U^{\circ}(A))$。

我们先搭建逻辑链。先证明必要性。要求 $\lim_{n \to \infty} f(x_n)=A$，就要这个数列总是有无穷项在 $A$ 的任意邻域之中，而我们现在已经有 $\lim_{x\to x_0} f(x)=A$，说明只要给定一个 $A$ 的邻域，总是能够找到一个 $x_0$ 的去心邻域，使得在这个邻域之中的所有 $x$ 的函数值都落于 $A$ 的这个邻域之中，而现在我们利用 $\lim _{n \to \infty} x_n=x_0$ 的定义，给定一个 $x_0$ 的去心邻域（题目规定 $x_n\not=x_0$ 就保证了去心），使得存在 $G$，使得任意 $i>G$，$x_i$ 在这个去心邻域之中。逻辑链就是 $U^{\circ}(A) \to \delta\to \varepsilon \to U^{\circ} (x_0) \to G \to N$。

而充分性比较显然，任意取一个数列即可。

利用海因定理证明极限不存在，我们取两个数列 $\{a_n\},\{b_n\}$，证明 $\lim f(a_n)\not=\lim f(b_n)$。

例题

讨论 $\lim_{x \to 0^{+}}x^a \sin \frac{1}{x}$ 是否存在，存在时取值多少。

可以根据海因定理，说明 $a \le 0$ 的情况，极限不存在，根据夹逼定理，说明 $a>0$ 时极限是 $0$。

函数极限的性质

唯一性

选两个互不包含的区间……或者使用海因定理，可以将数列极限的唯一性平移到函数。

单调有界函数单侧极限存在定理

主要方便在配合海因定理，将数列的一些极限套在函数的极限上。

局部有界性

利用极限的定义不难证明，用海因定理，我们可以选出一系列逐渐压缩的区间，在这些区间中选出一系列点，使它们的函数值趋于正无穷，然后就导出矛盾。

局部保序性

例题

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上严格单增，且 $f([a,b])=[f(a),f(b)]$。

证明：对于任意 $x_0 \in [a,b]$，有 $\lim _{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$。

当 $x \in [a,x_0)$，$f(x)$ 单增而且有上界，这说明了 $\lim _{x \to x_0^{-}} f(x)$ 必然存在，设为 $A$，则根据极限的保序性，$A\le f(x_0)$，下面说明 $A<f(x_0)$ 能够推出矛盾：根据极限的定义，我们取 $\varepsilon=\frac{f(x_0)-A}{2}$，则一定有 $\delta>0$，使得 $x \in (x_0-\delta,x_0)$ 时，$f(x) \in (A-\varepsilon,A+\varepsilon)$，此时是取不到 $[A+\varepsilon,f(x_0))$ 这个区间内的所有值的。所以 $\lim _{x\to x_0^{-}}=A$，同样我们可以说明 $\lim _{x\to x_0^{+}}=A$，所以得证。

局部保号性

复合函数的极限

$\lim_{u \to u_0} g(u)=g(u_0)(\varepsilon_g,\delta_g),\lim_{x \to x_0} f(x)=u_0(\varepsilon_f,\delta_f)$

证明：

$\lim_{x\to x_0} g(f(x))=g(u_0)(\varepsilon,\delta)$

逻辑链：

$\varepsilon \to \varepsilon_g \to \delta_g \to \varepsilon_f \to \delta_f \to \delta$

这说明了我们可以使用变量替换：

$\lim_{x \to a} f[\varphi(x)]=A \to (u=\varphi(x)) \lim_{u \to b} f(u)=A$

夹逼定理

运用海涅定理，就可以关联数列的性质和函数的性质。

一系列三角重要不等式

（怎么推的？

1.单位圆，推出 $\cos x < \frac{\sin x}{x} <1$

2.夹逼定理 $0<1-\frac{\sin x}{x}<1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2} \le \frac{x^2}{2}$）

得到：

$|\sin x| \le |x|, \forall x \in \R \\ 0 \le 1 - \cos x \le \frac{x^2}{2},\forall x \in \R$

无穷小的比较

几个重要的概念：高阶/低阶；同阶；等价。

同阶、等价的传递性。

标准无穷小：$x\to a: (x-a), n \to +\infty:\frac{1}{n}$。

并非任意两个无穷小可以互相比较，当且仅当它们相除极限存在，比如 $x\sin\frac{1}{x}$ 和 $x$ 就无法比较。

阶数、主部：

若 $\lim_{x \to a} \alpha(x)=0$，且存在常数 $c \not=0,k>0$，使得：

$\lim _{x\to a} \frac{\alpha(x)}{(x-a)^k}=c$

则称当 $x \to a$ 时， $\alpha(x)$ 是标准无穷小 $x-a$ 的 $k$ 阶无穷小，简称 $\alpha(x)$ 是 $k$ 阶无穷小，而称 $c(x-a)^k$ 是 $\alpha(x)$ 的主部。称为 $\alpha(x) \sim c(x-a)^k (x \to a)$（等价），而且 $\alpha(x)=c(x-a)^k+o((x-a)^k)$。

若 $\alpha(x)$ 是多项式，就看指数最小的那一项。

常见的等价无穷小

$x \to 0$ 时：

$\ln(1+x) \sim x, e^x-1 \sim x$

$\sin x \sim x,\tan x \sim x,1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^2 \\ \arcsin x \sim x,\arctan x \sim x$

（换元，$\lim \frac{\arcsin x}{x}=\lim \frac{u}{\sin u} \cdots$ ）

我们再复习一些常见的三角函数名称：

$\csc:1/\sin,\sec:1/\cos$

$(1+x)^\alpha \sim 1+\alpha x$

这个证明方法比较多，可以用定义，也可以：

$\lim \frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\lim \frac{e^{\alpha\ln(1+x)}-1}{\alpha\ln(1+x)} \times \frac{\alpha\ln(1+x)}{x}=\alpha$

也可以：

$\lim_{x\to 0} (1+x)^\alpha=\exp(\alpha \lim_{x\to0}\ln(1+x))\sim \exp(\alpha x)\sim 1+\alpha x$

等价无穷小为什么可以在乘除法互相替换？原因在于定义：$\lim \alpha(x)/\tilde{\alpha}(x)=1$……

但是涉及到加减法时，可能就会有反例，这个反例在于无穷大-无穷大是不确定的值，无穷大+负无穷大也是不确定的值。比如 $\lim_{x \to 0^{+}}(1+\frac{1}{x}-(\frac{1}{x}-1))=\lim_{x \to 0^{+}}(1+\frac{1}{x})-\lim_{x \to 0^{+}} (\frac{1}{x}-1)=+\infty-+\infty=2$。

我们计算：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$

如果我们简单替换 $\tan x,\sin x$ 为 $x$，会发现答案是 $0$，而这个显然是不对的，因为：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\tan x\times \frac{1-\cos x}{x^3}=\lim_{x\to 0}x\times \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2}$

原因是 $\tan x/x^3,\sin x/x^3$ 都是无穷大，直接替换是不合法的。（或者叫损失精度）

若 $f(x)$ 主部 $C_1(x-x_0)^{k_1}$，$g(x)$ 主部 $C_2(x-x_0)^{k_2}$，我们可以讨论 $f(x)-g(x)$ 的主部。

当 $k_1 \not=k_2$，指数较小的决定主部。

当 $k_1=k_2$，若 $C_1 \not=C_2$，说明阶数还是 $k_1/k_2$，决定了主部。但 $C_1=C_2$，就无法确定主部。

处理函数极限的常用手段

1. 提取公因式，对于分母分子都是多项式的还好说，如果对于上下包含根式的 $0/0$ 型表达式怎么办？

   如果根式是类似于 $\sqrt{f(x_0)}-\sqrt{g(x_0)}=0$ 的情况（$f,g$ 是多项式），可以有理化形成 $\frac{f(x_0)-g(x_0)}{\sqrt{f(x_0)}+\sqrt{g(x_0)}}$。

   这样就可以发现 $f(x_0)-g(x_0)$ 可以提取出一个 $(x-x_0)$ 的公因式。

2. 提取“常量”。

3. 等价无穷小的替换。

4. 换元的技巧：比如替换 $x \to a$ 为 $u \to 0$，其中 $u=x-a$ 等等。

5. 和差化积，积化和差。好处是创造出一个常量。

6. 指对转换。例如：

   $\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} (\frac{2}{x^2}+\cos\frac{1}{x})^{x^2} &= \exp \lim x^2 \ln(\frac{2}{x^2}+\cos\frac{1}{x}-1+1) \\ &=\exp \lim x^2 (\frac{2}{x^2}-\frac{1}{2x^2})\\ &=\exp \lim \frac{3}{2} \\ &=e^{\frac{3}{2}} \end{aligned}$

几道不错的例题

注：6/x 相当于无穷小，可以省去，或者说，$e^{无穷小}=1$。

$\begin{aligned} \lim_{x \to a} (\frac{\sin x}{\sin a})^\frac{1}{x-a} &=(t=x-a) \exp \lim _{t \to 0} \frac{1}{t} \ln (\frac{\sin(t+a)}{\sin a}) \\ &=\exp \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (\frac{\sin(t+a)}{\sin a}-1)\\ &=\exp \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (\sin t \times \cot a + \cos t -1) \\ &= e^{\cot a} \end{aligned}$