复数

复数的三种定义方法、表示形式

代数形式

$z=a+bi(a,b \in R)$

如何证明 $z$ 是纯虚数或者等于 0：

$z+\overline{z}=0$

如何证明 $z$ 是实数：

$z=\overline{z}$

几何形式

模长：$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

辐角：$Arg Z=\theta$，有无限多，相差 $2k\pi$，为了方便描述，我们使用辐角主值，就是 $\arg z$，$0 \le \arg z <2 \pi$。

三角定义

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

复数相乘意味着辐角相加，模长相乘。

例题 1

从复数的角度说明 $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$ 的周期为 6。

特征方程是 $x^2=x-1$，解得 $x=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$。

相当于 $x_{1,2}=\cos\frac{\pi}{3}\pm i\sin\frac{\pi}{3}$。

$a_n=Ax_1^n+Bx_2^n$，而 $x_{1,2}^6=1$，说明周期是 6。

例题 2

2020 清华

$|z_1|=1,5z_1^2-2z_1z_2+z_2^2=0$，求 $S_{\Delta OZ_1Z_2}$。

第一步，找出复数之间的关系：

$(\frac{z_2}{z_1})^2-2(\frac{z_2}{z_1})+5=0 \Rightarrow \frac{z_2}{z_1}=1\pm2i$

第二步，根据几何意义，$z_1,z_2$ 之间构成一个直角边为 1,2 的直角三角形，面积为 1。

向量的共轭运算

复数共轭也具有四则运算。

模长公式：

$|z|^2=z\overline{z} \quad |\overline{z}|=\overline{|z|}=|z| \quad ||z_1|-|z_2||\le|z_1\pm z_2| \le |z_1|+ |z_2|$

例题 3

$z+\frac{1}{z} \in R \Rightarrow z\in R \text{ or } |z|=1$

$z+\frac{1}{z}$ 为实数推出

$\overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}=z+\frac{1}{z} \Rightarrow \overline{z}-z=\frac{\overline{z}-z}{\overline z z} \Rightarrow \overline zz=1 \text{ or } \overline z=z \Rightarrow \cdots$

例题 4

2016 北大

$|z_1+z_2|=|z_1|,\overline{z_1}z_2=a(1-i),\frac{z_2}{z_1}=?$

$(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})=z_1\overline{z_1} \Rightarrow \overline{z_1}z_2+\overline{\overline{z_1}z_2}+|z_2|^2=0 \Rightarrow 2a+|z_2|^2=0$

$\frac{z_2}{z_1}=\frac{z_2\overline{z_2}}{z_1\overline{z_2}}=\frac{|z_2|^2-2a}{a(1+i)}=i-1$

多项式的根

代数基本定理：$n$ 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 $n$ 个根，重根算多个。

虚根成对定理：$z$ 是方程的根，则 $\overline{z}$ 也是方程的根。这样可以说明三次方程可能有三个实根，或者一个实根和两个共轭虚根。

和二次方程的韦达定理一样，也需要注意 $a_1^2+a_2^2 + \cdots +a_n^2=(a_1+a_2 \cdots a_n)^2-2 \sum_{i<j} a_i a_j$。

$x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1=(x-\varepsilon_n^1)(x-\varepsilon_n^2)\cdots(x-\varepsilon_n^{n-1})$

对于三次单位根 $z$，有 $z^3=1,1+z+z^2=0$。

复指数函数

对于复数 $z=x+iy$，由欧拉公式（$e^{iz}=\cos z+i \sin z$）

$\exp z=e^z=e^x\times e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$

我们可以得到一些性质：

$|\exp z|=\exp x,\text{Arg }\exp z=y$

复三角函数

由欧拉公式：

$\cos z=\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}\\ \sin z=\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}$

复对数函数

复对数函数是复指数函数的反函数，也就是给出 $e^x(\cos y+i \sin y)$，让我们求 $z$。

得出复对数函数的主值：

$\ln z=\ln |z|+i\arg z$

而复对数函数：

$\text{Ln } z= \ln |z|+i\text{Arg }z$

一般指数函数

$a^z=\exp(z \text{ Ln } a)$

$a^z=\exp(z \text{ Ln }a)=\exp(z\ln a+2k\pi iz)=\exp(z\ln a) \exp(2k\pi i z)=\exp(z \ln a)1^z$

是一个多值函数。

一般幂函数

$z^a=\exp(a \text{ Ln } z)$

$z^a=\exp(a\ln z)\exp(2k\pi i a)$

如果 $a$ 为整数，则可以化为 $(ka) \times 2\pi i$ 的形式，为 $1$，此时：

$z^a=\exp(a\ln z)$

如果 $a$ 为有理数 $q/p$，则可以看做开 $p$ 次方根，再求 $q$ 次幂，有 $p$ 种取值。

或者发现 $2k\pi i \frac{q}{p}$ 的取值 $k$ 取 $k+p$ 不变，相当于只有 $k=0,1,\cdots,p-1$ 的取值使得答案不同。

本原单位根

$\omega \in\{\omega_n^k | 0 \le k < n , \gcd(n,k)=1\}$

满足对于任意的 $0 < k < n$，$\omega^k$ 不等于 $1$，一共有 $\varphi(n)$ 个。

我们可以感性理解，设 $\gcd(n,k)=d$，如果 $d$ 不为 $1$，则 $\omega _n^k=\omega_{n/d}^{k/d}$，只能生成所有的 $n/d$ 次单位根。

分圆多项式

https://yhx-12243.github.io/OI-transit/memos/17.html