曲线积分与曲面积分

第一类曲线积分

引例：质线的质量

设有一条平面质线，占有 $xoy$ 平面上的曲线弧 $C$，在任一点 $M(x,y) \in C$ 处的线密度为 $\rho(x,y)\in C(D)$。

基本思想：局部以不变代变。

分割：插入 $n-1$ 个分点，记 $A_0=A,A_n=B$，把曲线 $C$ 分为 $n$ 个小弧段，记第 $i$ 个小弧段 $\overset{\LARGE{\frown}}{A_{i-1}A_i}$ 的长度为 $\Delta s_i$。

取值 在 $\overset{\LARGE{\frown}}{A_{i-1}A_i}$ 上取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，以 $\rho(\xi_i,\eta_i)$ 作为近似质量。

求和

求极限：当 $\lambda=\max_{1\le i \le n}\{\Delta s_i\}\to 0$ 时，得到

$m=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n \rho(\xi_i,\eta_i) \Delta s_i$

引申：形心怎么求？

$x_C=\frac{\int_C \mathrm d s}{\int_C x\mathrm d s}$

质心怎么求？

$x_C=\frac{\int _C \rho \mathrm d s}{\int_C x \rho \mathrm d s}$

引例：柱面的面积

一张柱面 $S$ 以 $xoy$ 面上的曲线 $C$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴，其高度为 $h(x,y),(x,y)\in C$，求此柱面 $S$ 的面积。

当 $\lambda=\max_{1\le i \le n}\{\Delta s_i\}\to 0$ 时，得到

$S=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n h(\xi_i,\eta_i) \Delta s_i$

第一类曲线积分的定义

定义：设 $C$ 是 $xoy$ 面上的一条光滑的曲线弧（具有连续的导数），函数 $f(x,y)$ 是定义在 $C$ 上的有界函数，用 $C$ 上的任意点 $M_1,M_2,\cdots,M_{n-1}$ 把 $C$ 分为 $n$ 小段，在第 $i$ 小段上任意取点 $(\xi_i,\eta_i)\, (i=1,2,\cdots,n)$，当 $\displaystyle \lambda=\max_{1\le i \le n}\{\Delta s_i\}\to 0$，如果和式 $\displaystyle \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$ 有确定的极限值 $I$，则称此极限值 $I$ 为函数 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上 对弧长的曲面积分（又称对弧长的曲线积分），记作

$\int_C f(x,y)\mathrm d s$

曲线记号使用 $C,\Gamma$。

其中 $f(x,y)$ 称为被积函数，$C$ 称为积分路径，$\mathrm d s$ 称为弧长微元（或弧长元素）

性质 存在性，当 $f(x,y)$ 在光滑曲线弧 $C$ 上连续或者有界而且只有有限个间断点时，曲线积分 $\int_C f(x,y) \mathrm d s$ 存在。

性质 线性性、路径可加性、中值定理。

1. $\displaystyle \int_C k\cdot f(x,y) \mathrm d s=k\cdot \int_C f(x,y)\mathrm d s$，其中 $k$ 为常数。
2. $\displaystyle \int_C[f(x,y)+g(x,y)]\mathrm d s=\int_C f(x,y)\mathrm d s+\int_C g(x,y)\mathrm d s$.
3. $\displaystyle \int_{C_1+C_2} f(x,y)\mathrm d s=\int_{C_1} f(x,y)\mathrm d s+\int_{C_2} f(x,y)\mathrm d s$
4. 中值定理：设函数 $f(x,y)$ 在光滑曲线 $C$ 上连续，则 $\exists (\xi,\eta)\in C$，使得 $\displaystyle \int_C f(x,y)\mathrm d s=f(\xi,\eta)\cdot S_C$，其中 $S_C$ 为曲线 $C$ 的弧长。$\displaystyle S_C=\int_C1\cdot \mathrm ds$.

第一类曲线积分的计算

定理 设曲线 $C$ 的参数方程为：

$\left\{ \begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\end{matrix}\right. \quad (\alpha \le t \le \beta)$

其中 $x(t),y(t)$ 具有 连续导数，由于弧微分

$\mathrm d s=\sqrt{(\mathrm d x)^2+(\mathrm d y)^2}=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\mathrm d t$

所以

$\boxed{\int_C f(x,y) \mathrm d s=\int_{\alpha}^\beta f[x(t),y(t)] \cdot\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\mathrm d t}$

证明使用 积分中值定理。

当曲线方程为 $y=y(x)\quad (a\le x\le b)$，则

$\boxed{\int_C f(x,y) \mathrm d s=\int_{a}^b f[x,y(x)] \cdot\sqrt{1+y'(x)^2}\mathrm d x}$

当曲线采用极坐标，极坐标化为参数方程，

$\left\{ \begin{matrix}x=r(\theta)\sin\theta \\y=r(\theta)\cos\theta\end{matrix}\right. \quad (\alpha \le \theta \le \beta)$

得到

$\boxed{\int_C f(x,y)\mathrm d s=\int_\alpha^\beta f(r\cos\theta,r\sin\theta) \sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)} \mathrm d \theta}$

例题1 计算曲线积分 $\displaystyle \int_C y^2 \mathrm d s$，其中 $C$ 是摆线 $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)\,(0\le t \le 2\pi ,a >0)$ 的一拱。

先写出 $x'(t),y'(t)$ 的表达式。然后计算弧微分。

$\mathrm d s=2a\left|\sin \frac{t}{2}\right|\mathrm d t$

$\int_C y^2 \mathrm d s=\int_0^{2\pi} a^2(1-\cos t)^2 \cdot 2 a \left|\sin \frac{t}{2}\right| \mathrm d t\\ =8a^3 \int_0^{2\pi} \sin^5 \frac{t}{2}\mathrm d t=32 a^3\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^5 u \mathrm d u=\frac{2^8a^3}{15}$

例题2



例题3


先记下点 $A(a,0),B\left(\sqrt{2}a/2,\sqrt{2}a/2\right)$

则

$\oint_C e^{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm d s=\int_{\overline{OA}}+\int_{\overset{\LARGE{\frown}}{AB}}+\int_{\overline{OB}}$

对于 $\int_{\overset{\LARGE{\frown}}{AB}}$ ，使用参数方程，令 $x=a\cos t,y=a\sin t$，则转化为

$\int_\alpha^\beta f(r\cos\theta,r\sin\theta) \sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)} \mathrm d \theta=\int_0^\frac{\pi}{4} e^a a\mathrm d \theta$

例题4


方法1 参数方程。令 $x=R+R\cos \theta,y=R\sin\theta$。$\mathrm d s=R\mathrm d t$。

所以

$\int_C (x^2+y^2)\mathrm d s=\int_0^\pi \underbrace{2R \cdot (R+R\cos t)}_{2Rx}R\mathrm d t=2\pi R^3$

是可以代入的。

方法2 利用极坐标，曲线方程为 $r=2R\cos\theta$。

第一类曲线积分的对称性与轮换性

性质

如果 积分曲线 $\boldsymbol C$ 关于 $\boldsymbol y$ 轴对称，且 $f(x,y)$ 是 关于 $\boldsymbol x$ 的奇函数，则

$\int_C f(x,y)\mathrm d s=0$

和二重积分的对称性类似。

例题5 对称性

设曲线 $C$ 为 $\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，其周长为 $a$，则

$\int_C (3x^2+4y^2+\underbrace{2xy+3x^2y+4xy^2}_{0})\mathrm d s$

不考虑原点对称，而 $xy=-(-x\cdot y)$。

$3x^2+4y^2=12$，答案等于 $12a$。

例题6 轮换性

设曲线 $C$ 为 $\displaystyle x^2+y^2=a^2$，则

$\oint_C (3x^2+4y^2+2xy)\mathrm d s$

$\oint_C x^2\mathrm d s=\oint_C y^2 \mathrm d s$

等于

$\frac{7}{2}\oint_C (x^2+y^2)\mathrm d s=\frac{7}{2}2\pi a \cdot a^2=7\pi a^3$

第一类空间曲线积分

设空间曲线方程为

$\Gamma:\left\{ \begin{aligned} &x=x(t)\\ &y=y(t)\\ &z=z(t) \end{aligned} \right. \, (\alpha\le t \le \beta)$

则第一类空间曲线积分：

$\boxed{\int_\Gamma f(x,y,z)\mathrm d s=\int_{\alpha}^\beta f[x(t),y(t),z(t)]\cdot \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\mathrm d t}$

例题7 计算曲线积分 $\displaystyle \int_\Gamma y(x-z)\mathrm d s$，其中 $\Gamma$ 是曲面 $\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{4}=1$ 与平面 $x+z=2$ 在第一卦限中点 $(2,0,0)$ 与点 $(1,1,1)$ 的一段。

得到 $x^2+y^2=2x$，因此 $x:=\cos \theta+1,y:=\sin\theta$，代入得到 $z=1-\cos\theta$。则弧元素：

$\mathrm d s=\sqrt{1+\sin^2 t} \mathrm d t$

则两点之间相对于 $\theta$ 的范围：$\theta=0 \to \theta=\pi/2$。

$\int_\Gamma y(x-z) \mathrm d s=\int_0^\frac{\pi}{2} \sin t\cdot 2\cos t \cdot \sqrt{1+\sin^2 t }\mathrm d t=\frac{2(2\sqrt{2}-1)}{3}$

第二类曲线积分

引例：变力沿曲线做功

设有一个质点，在 $xoy$ 面上沿曲线弧 $C$ 从点 $A$ 运动到点 $B$，运动过程中质点受到变力

$\boldsymbol F(x,y)=P(x,y)\boldsymbol i+Q(x,y)\boldsymbol j$

的作用，计算 $\boldsymbol F$ 沿曲线弧 $C$ 所做的功。利用 $\boldsymbol F$ 与切向量的 点积。

设曲线弧 $C$ 的起点为 $A$ 终点为 $B$，确定了方向的曲线称为定向曲线或者有向曲线，把这个方向称为曲线的正向，记作 $C^+$，把从点 $B$ 到点 $A$ 的方向称为曲线的负向或者反向，记作 $C^-$。

取曲线上任意点 $M(x,y)$ 沿 $C^+$ 的一个微元 $\mathrm d \boldsymbol s$，计算 $\mathrm d W=\boldsymbol F\cdot \mathrm d \boldsymbol s$。

若记 $\mathrm d \boldsymbol s=\{\cos \alpha,\cos \beta\}\mathrm d s=\{\mathrm d x,\mathrm d y\}$，变力做功可以表示为：

$W=\int_C [P(x,y)\cos \alpha+ Q(x,y)\cos \beta]\mathrm d s=\int_C P(x,y)\mathrm d x+Q(x,y)\mathrm d y$

第二类曲线积分的定义




第二类曲线积分的性质

与第一类曲线积分类似于第二类曲面积分有相似的性质如：线性性质、区域可加性等。还有特殊的性质，当曲线弧方向相反之后：

$\int_{C^-} P(x,y)\mathrm{d} x+Q(x,y)\mathrm{d} y=-\int_{C^+} P(x,y) \mathrm{d} x+Q(x,y) \mathrm{d} y$

然而不考虑对称性。

第二类曲线积分的计算

$\boxed{\int_C P(x,y)\mathrm d x+Q(x,y)\mathrm d y=\int_\alpha^\beta (Px'+Qy')\mathrm d t}$



和路径无关。

第二类空间曲线积分

设空间曲线方程为 $\Gamma:\left\{ \begin{aligned} &x=x(t)\\ &y=y(t)\\&z=z(t)\\ \end{aligned} \right.$，$t$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$，则第二类空间曲线积分有相应的计算公式：

$\int_\Gamma P(x,y,z) \mathrm{d} x+Q(x,y,z)\mathrm{d} y+R(x,y,z)\mathrm{d} z\\=\int_{\alpha}^\beta \left\{P[x(t),y(t),z(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y'(t)+R[x(t),y(t),z(t)]z'(t)\right\}\mathrm d t$



也可以观察到 $\mathrm d (xyz)=\mathrm d (\xi \eta \varsigma t^3)=3\xi\eta\varsigma t ^2 \mathrm d t$.

因此，就是求 $\xi\eta\varsigma$ 最大值。

两类曲线积分的关系

利用方向余弦

$\{\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma \}=\frac{1}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}}\{x'(t),y'(t),z'(t)\}$

进行投影，和单位方向向量点乘相当于投影。

另外一种方法，利用 $\mathrm d s=\sqrt{(\mathrm d x)^2+(\mathrm d y)^2+(\mathrm{d} z)^2}$，得到

$\int_\Gamma P\mathrm d x+Q\mathrm d y+R\mathrm d z=\int_\Gamma \frac{P\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}+Q\frac{\mathrm d y}{\mathrm d t}+R\frac{\mathrm d z}{\mathrm d t}}{\sqrt{(\mathrm d x/\mathrm d t)^2+(\mathrm d y/\mathrm d t)^2+(\mathrm d z/\mathrm d t)^2}}\mathrm d s$

例题12 设 $\Gamma$ 是空间曲线 $x=t,y=t^2,z=t^3$ 上 $t$ 从 $0$ 到 $1$ 对应一段的曲线弧，把对坐标的曲线积分 $\displaystyle \int_\Gamma P\mathrm{d} x+Q\mathrm{d} y+R\mathrm{d} z$ 化为对弧长的曲线积分。

$\displaystyle \int_\Gamma P\mathrm{d} x+Q\mathrm{d} y+R\mathrm{d} z=\int_\Gamma \frac{P+2tQ+3t^2 R}{\sqrt{1+4t^2+9t^4}} \mathrm{d} s$

格林公式

对于封闭有向曲线的积分，可以转化为其围成区域内部的积分

设闭区域 $D$ 是由分段光滑的曲线弧 $C$ 所围，函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在 $D$ 上由连续的偏导数，则

$\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm d x\mathrm d y=\oint_C P\mathrm d x+Q\mathrm d y$

其中 $C$ 是 $D$ 的 取正向 的整个边界，正向是逆时针。称为格林公式。



格林公式的向量形式


设曲线 $C$ 是区域 $D$ 的取正向的整个边界，函数 $\boldsymbol F=\{f(x,y),g(x,y)\}$ 在 $D$ 上有连续的偏导数，设与曲线 $C$ 正向一致的单位切向量为：$\boldsymbol e_{\tau}=\{\cos \alpha,\cos \beta\}$，单位外法向量为 $\boldsymbol n^0=\{\cos \beta,-\cos \alpha\}$.

则 $(\boldsymbol F\cdot \boldsymbol n^0)\mathrm{d} s=f\cos \beta \mathrm{d} s-g\cos\alpha \mathrm{d} s=f\mathrm{d} y-g\mathrm{d} x$.

此时 $\displaystyle \oint_C (\boldsymbol F\cdot \boldsymbol n^0)\mathrm{d} s=\oint_C f\mathrm{d}y-g\mathrm{d}x=\iint_D \left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\right) \mathrm{d} \sigma$。

记梯度算子为：$\displaystyle \nabla=\left\{\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right\}$，则 $\displaystyle \nabla\cdot \boldsymbol F=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}$，故格林公式的向量形式为：

$\oint_C (\boldsymbol F\cdot \boldsymbol n^0)\mathrm{d} s = \iint_D (\nabla \cdot \boldsymbol F)\mathrm d \sigma$

格林公式求面积：

$S(D)=\oint_C -y\mathrm{d} x=\oint_C x \mathrm{d} y=\frac{1}{2} \oint_C -y\mathrm{d} x+x\mathrm{d} y$


这样的形式比较对称，曲线的图形如下：


解法一：直接计算曲线积分，代入 $y=x^2$，得到 $\displaystyle \int_{-1}^1 \left(e^{x^2}+2x^2 e^{x^2}\right)\mathrm{d} x$，该如何计算。

分部积分：$\displaystyle \int e^{x^2} \mathrm{d} x=xe^{x^2}-\int 2x^2 e^{x^2} \mathrm{d} x$。因此不定积分是 $xe^{x^2}+C$.



计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_C e^{-y^2} \mathrm{d} x+2x (1-ye^{-y^2})\mathrm{d} y$，其中 $C$ 是直线 $y=x$ 上从 $O(0,0)$ 到 $A(1,1)$ 的一段。

解法一 直接计算，所得定积分比较复杂。

解法二 使用格林公式，需要保证曲线正向、闭合。

设 $B(0,1)$，添加直线：

$L_{\over{AB}}: y=1,x:1\to0;L_{\over{BO}}:x=0,y:1\to0$

由格林公式得

设平面曲线 $C$ 是圆周 $x^2+y^2=1$ 的逆时针方向，求曲线积分 $\displaystyle \oint_C x e^{2x^2-3y^2}\mathrm d x+y e^{2x^2-3y^2} \mathrm d y$；

第一是可以用 $y^2=1-x^2,x^2=1-y^2$ 替代，凑微分 得到结果为 0.

第二是可以直接使用 Green 公式，得到

$\iint_{D} -2xy e^{2x^2-3y^2}\mathrm{d} \sigma$

之后注意到对称性，结果为0.

第三是最简单的参数化解法，令 $x=\cos t,y=\sin t ,t \in [0,2\pi)$，然后得到

$\oint_C \left[\cos t(-\sin t ) e^{2x^2-3y^2}+\sin t \cos t e^{2x^2-3y^3}\right]\mathrm d t$

结果为 0.

曲线积分与路径无关

设 $G$ 是一个开区域，函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在区域 $G$ 内有连续的偏导数。如果对于 $G$ 内 任意两点 $A,B$ 以及从 $A$ 到 $B$ 的任意两条曲线 $C_1,C_2$ 恒有

$\int_{C_1}P\mathrm d x+Q\mathrm d y=\int_{C_2} P\mathrm d x+Q\mathrm d y$

称为曲线积分在 $G$ 内 与路径无关。

等价条件 1

沿任意一条封闭曲线上的积分值为零。也就是对于 $\forall C,\displaystyle \oint_C P\mathrm d x+Q\mathrm d y=0$

证明：令 $C=C_1^+ \cup C_2^-$，由 $\displaystyle \int_{C_1^+}=\int_{C_2^+} \Rightarrow \int_{C_1^+}+\int_{C_2^-}=0$ 得到 $\displaystyle \oint_{C_1^++C_2^-}=0$.

等价条件 2

单连通域 设 $D$ 是一个平面区域，若 $D$ 内任意封闭曲线所围成的区域都落在 $D$ 内，则称区域 $D$ 是单连通域，否则称区域是复联通的。相当于区域内部没有空洞。

等价条件2：和格林公式的关系 设开区域 $G$ 是一个单连通域，函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在区域 $G$ 内有 连续的偏导数，则曲线积分

$\int_C P\mathrm d x+Q\mathrm d y$

在 $G$ 内与路径无关的充分必要条件是 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $G$ 恒成立。

反向证明：

$\oint _C P\mathrm d x+Q\mathrm d y=\iint_{D_1}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial x}\right)\mathrm d x\mathrm d y=0$

因此无关。

正向证明：

如果不等于，假设大于。存在 $M_0$ 的一个邻域 $U(M_0)$，使得在这个邻域内有

$\left.\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\right|_{U(M_0)}>0$

设这个邻域的边界曲线为 $K$，在这个邻域里面取格林公式，得到沿闭曲线积分不为 0，矛盾。

等价条件 3

等价条件3：和全微分的关系

设开区域 $G$ 是一个单连通域，函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在区域 $G$ 内有连续的偏导数，则 $P(x,y)\mathrm d x+Q(x,y)\mathrm d y$ 在 $G$ 是某一个函数 $u(x,y)$ 的全微分的充分必要条件是：

$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

在 $G$ 恒成立。

先证明正向。若 $P(x,y)\mathrm{d} x+Q(x,y)\mathrm{d} y=\mathrm{d} u(x,y)$，再加上偏导函数连续，则 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial P}{\partial y}$。

再证明反向，若 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 则 $\displaystyle \int_C P\mathrm{d} x+Q\mathrm{d} y$ 与路径无关。

构造 $u(x,y)=\displaystyle \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P(x,y)\mathrm{d} x+Q(x,y)\mathrm{d} y$ 即可。

那么如何求原函数 $u(x,y)$。方法1，利用构造 $\displaystyle u(x,y)=\int_{(0,0)}^{(x,y)} P \mathrm{d} x+Q\mathrm{d} y$，选取特殊路径求 $u(x,y)$。方法2，利用两次积分，得到 $\displaystyle u(x,y)=\int P(x,y) \mathrm{d} x+C_1 (y)=\int Q(x,y)\mathrm{d} y+C_2(x)$ 求出常数。

等价条件 4

等价条件 4：$\displaystyle \int_C P\mathrm d x+Q\mathrm d y$ 与路径无关，只与始末位置有关。

例题5 设函数 $P(x,y)$ 在 $xoy$ 面上有连续的偏导数，曲线积分 $\displaystyle \int_C P(x,y) \mathrm{d} x+2xy \mathrm{d} y$ 与路径无关，又对任意的实数 $t$ 恒有 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t,1)} P(x,y)\mathrm{d} x+2xy\mathrm{d} y=\int_{(0,0)}^{(1,t)} P(x,y)\mathrm{d} x+2xy\mathrm{d} y$，求函数 $P(x,y)$.

方法1：由曲线积分和路径无关知道存在原函数 $u(x,y)=xy^2+C(x)$，代入 $u(t,1)=u(1,t)$ 得到 $C(t)=t^2-t+C(1)$，对 $x$ 求偏导得到 $P(x,y)=y^2+2x-1$.

方法2：转化题目条件的路径为竖直路径和水平路径。

等价条件 5

等价条件 5：梯度 设开区域 $G$ 是一个单连通域，函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在区域 $G$ 内有连续的偏导数，则曲线积分$\displaystyle \int_C P\mathrm d x+Q\mathrm d y$ 在 $G$ 内与路径无关的充分必要条件是：

$P(x,y)\boldsymbol i+Q(x,y)\boldsymbol j$

是某个函数 $u(x,y)$ 的 梯度。

若积分区域 $G$ 内含有 “洞” 的时候，不能使用格林公式，只能直接计算。若 $C_1$，$C_2$ 都有洞：

$\oint_{C_1} P \mathrm d x+Q\mathrm d y=\oint_{C_2} P\mathrm d x+Q\mathrm d y$




全微分方程的积分因子

如果微分方程 $P(x,y)\mathrm d x+Q(x,y)\mathrm d y=0$ 可以写作一个函数 $U$ 的全微分，也就是：

$\mathrm d U=P(x,y)\mathrm d x+Q(x,y)\mathrm d y=0$

则称为 全微分方程。充要条件是 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$.

若 $P(x,y)\mathrm d x+Q(x,y)\mathrm d y=0$ 不是全微分方程，而 $\mu(x,y)\cdot [P(x,y)\mathrm d x+Q(x,y)\mathrm d y]=0$ 是全微分方程，则称 $\mu(x,y)$ 为 积分因子。

如何找到恰当的 积分因子？得到

$\frac{\partial Q\mu}{\partial x}-\frac{\partial P\mu}{\partial y}=0$

目标变为求解偏微分方程？只用找一个积分因子。不妨假设 $\mu$ 之和 $x$ 有关。

$\frac{\mathrm d \mu}{\mathrm d x}Q+\mu \frac{\partial Q}{\partial x}=\mu \frac{\partial P}{\partial y} \Rightarrow \frac{\mathrm d \mu}{\mathrm d x}Q=-\mu\left(\underbrace{-\frac{\partial P}{\partial y}+ \frac{\partial Q}{\partial x}}_{M}\right)$

如果 $M/Q$ 只与 $x$ 有关，也就是 $N(x)$。得到

$\frac{\mathrm d \mu}{\mu}=-N(x)\mathrm d x \Rightarrow \mu=e^{-\int \frac{M}{Q}\mathrm d x}$

求微分方程 $(y^2+xy^2+2y)\mathrm d x+2(1+xy)\mathrm d y=0$ 的通解。

$P=y^2+xy^2+2y,Q=2(1+xy),M=-(2xy+2)$，得到 $M/Q$ 为常数。

因此

$\mu=e^x$

这样凑出来：

$e^x(y^2+xy^2+2y)\mathrm d x+e^x 2(1+xy)\mathrm d y=0$

怎么进行凑微分？

法一：全部拆开来

$2ye^x \mathrm d x+xy^2 e^x \mathrm d x+2e^x \mathrm d y+2xy e^x \mathrm d y=0$

$2 \mathrm d (e^x y)+x \mathrm d (e^x y^2)+e^x y^2 \mathrm d x=0$

$\mathrm d (2e^x y+xe^x y^2)=0$

法二：积分+微分

$\int e^x 2(1+xy) \mathrm d y=e^x2(y+xy^2)+C(x)$

$e^x(2y+xy^2+y^2)+C'(x)=e^x(2y+xy^2+y^2) \Rightarrow C'(x)=0$

法三：不使用积分因子的方法

先部分用凑全微分，得到

$\mathrm d (xy^2+2y)+(xy^2+2y)\mathrm d x=0$

得到

$\ln |xy^2+2x|+x=0$

熟悉 $\mathrm d (xy),\mathrm d (x/y)$。出现：

$\frac{y\mathrm d x-x\mathrm d y}{y^2}=\mathrm d \left(\frac{x}{y}\right)\\ \frac{y\mathrm d x-x\mathrm d y}{x^2}=\mathrm d \left(-\frac{y}{x}\right)\\ \frac{y\mathrm d x-x\mathrm d y}{x^2+y^2}=\mathrm d \left(\arctan \frac{x}{y}\right)\\ \frac{y\mathrm d x-x\mathrm d y}{xy}=\mathrm d \left(\ln \left|\frac{x}{y}\right|\right)$

总结：利用格林公式和其他性质计算第二类曲线积分

设开区域 $G$ 是一个单连通域，则下面五个条件等价。

1. 曲线积分 $\displaystyle \int_C P\mathrm{d} x+Q\mathrm{d} y$ 与路径无关；
2. 对于任意封闭曲线 $C\in G$ 有 $\displaystyle \oint_C P\mathrm{d} x+Q\mathrm{d} y=0$；
3. $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$ 在 $G$ 内恒成立；
4. $P\mathrm{d} x+Q\mathrm{d} y=\mathrm{d} u$ 或 $P\mathrm{d} x+Q\mathrm{d} y=0$ 是全微分方程；
5. $P\boldsymbol i+Q\boldsymbol j=\nabla u$。

一开始直接代入曲线、曲面的表达式。注意曲线内部不满足曲线方程。

如果是 $\displaystyle\int_A^B \varphi(x)\mathrm{d} x$ 直接计算。

如果是一个函数 $u(x,y)$ 的梯度，可以直接计算 $u(B)-u(A)$，其中 $A$ 是起点，$B$ 是终点。

如果格林公式表示是 0，可以改变路径，不过要注意原路径和新路径之间不能围着奇点。注意路径是从哪一端趋近的。注意圆周方向顺时针还是逆时针。


$\displaystyle \int_A^B x\mathrm d y=-\int_A^B y\mathrm d x=S$. 直接算面积。

不能直接利用对称性。


第一类曲面积分

引例：曲面的质量：设有一张光滑曲面 $\Sigma$，密度 $\rho(x,y,z)$。基本思想：局部以不变代变

1. 分割：把曲面任意分割成 $n$ 个小曲面片；
2. 取值（近似）：在第 $i$ 个小曲面片上任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\varsigma_i)$，得到该小曲面片的近似质量为 $\Delta m_i\approx \rho(\xi_i,\eta_i,\varsigma_i)\cdot \Delta S_i$，其中 $\Delta S_i,d_i$ 分别表示小曲面片的面积和直径（$i=1,2,\cdots,n$）
3. 求和：曲面 $\Sigma$ 的质量为 $\displaystyle m\approx \sum_{i=1}^n \rho(\xi_i,\eta_i,\varsigma_i)\Delta S_i$；
4. 求极限：当 $\displaystyle \lambda=\max_{1\le i\le n}\{d_i\}\to 0$ 时，$\displaystyle m=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n \rho(\xi_i,\eta_i,\varsigma_i)\Delta S_i$.

第一类曲面积分的定义

定义: 设 $f(x, y, z)$ 是定义在光滑曲面 $\Sigma$ 上的有界函数， 若用曲线把曲面 $\Sigma$ 任意分割成 $n$ 小片，设第 $i$ 小片 $\Delta \Sigma_i$ 的面积为 $\Delta S_i$, 在 $\Delta \Sigma_i$ 上任意取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \varphi_i\right)$, 记 $d_i$ 为 $\Delta \Sigma_i$ 的直径 $(i=1,2, \cdots, n)$, 当 $\displaystyle \lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{d_i\right\} \rightarrow 0$ 时， 如果和式 $\displaystyle \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i, \varsigma_i\right) \Delta S_i$ 有确定的极限值 $I$, 则称此极限值 $I$ 为函数 $f(x, y, z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上对 面积的曲面积分，记作: $\displaystyle \iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 。

性质相似，也有线性性质和积分区域可加性。$\mathrm d S$ 面积元素。

当 $f(x,y,z)\equiv 1$ 时，$\displaystyle \iint_\Sigma \mathrm{d} S=S_\Sigma$，其中 $S_\Sigma$ 为曲面的面积。

第一类曲面积分的计算

设函数 $f(x,y,z)$ 在光滑曲面 $\Sigma$ 上连续，曲面 $\Sigma$ 的方程为 $z=z(x,y)$，$\Sigma$ 在 $xoy$ 面上的投影为 $D_{xy}$，函数 $z(x,y)$ 在 $D_{xy}$ 上有连续偏导数，则曲面面积元素为 $\mathrm d S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm d x\mathrm d y$，且

$\boxed{\iint_\Sigma f(x,y,z){\color{blue}\mathrm d S}=\iint_{D_{xy}} f[x,y,z(x,y)]\cdot {\color{blue}\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm d x\mathrm d y}}$

三个要点：曲面方程 $z(x,y)$、投影区域 $D_{xy}$，面积元素 $\mathrm d S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm d x\mathrm d y$。

类似地，

$\boxed{\iint_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm d S=\iint_{D_{yz}} f[x(y,z),y,z]\cdot \sqrt{1+x_y^2+x_z^2}\mathrm d y\mathrm d z}$

双参数方程

当曲面 $\Sigma$ 的方程为双参数形式 $\left\{\begin{aligned}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{aligned}\right.$，$f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上连续，其中 $(u,v)\in D_{uv}$，则

$\boxed{\iint_{\Sigma} f(x,y,z){\color{blue}\mathrm d S}=\iint_{D_{uv}} f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\cdot {\color{blue}\sqrt{A^2+B^2+C^2}\mathrm d u\mathrm d v}}$

其中

$A=\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},B=\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},C=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)},\boldsymbol n=\{A,B,C\}$


$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\\ z_x=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},z_y=\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\\ 球面的面积元素：\mathrm d S=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\mathrm d x\mathrm d y$