相似矩阵与矩阵的对角化

$A \sim A $
$A\sim B \Rightarrow B \sim A$
$A \sim B,B \sim C \Rightarrow A \sim C$

相似矩阵有相同的特征多项式，是因为 $A\sim B\Rightarrow |\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ 。

推出：有相同的行列式和迹。然而，有相同的特征多项式不意味着相似。

若 $A \sim B$ ，且 $A,B$ 均可逆，则 $A^{-1} \sim B^{-1}$ 。 $B=P^{-1}AP,B^{-1}=P^{-1}A^{-1}P$ 。
若 $A \sim B$ ，则 $kA \sim kB$ 。
若 $A \sim B$ ，则 $A^m\sim B^m,m\in \Z^+$ 。处理矩阵幂次的技巧……
若 $A \sim B$ ，则 $g(A)\sim g(B)$ 。

以上和特征值的结论相似。

分块对角阵相似的条件。

#define Num poly
#include "poly.h"
#include "matrix.h"
using namespace std;
int main(){
    Matrix A;
    cin>>A;
    // cout<<A<<endl;
    Matrix B=A;
    for (int i=1;i<=A.row;++i){
        B[i][i]=B[i][i]-Num("l");
    }
    cout<<"Eigen Poly"<<endl;
    _poly x=Determinant(B).x;
    cout<<x<<endl;
    upoly _x;
    _x.init_from_poly(x);
    vector<pair<upoly,int> >v=Factorization(_x);
    cout<<"Factorization"<<endl;
    cout<<"C";
    for (int i=0;i<v.size();++i){
        cout<<"("<<v[i].first<<")^"<<v[i].second;
    }
    cout<<endl;
    vector<Matrix>s;
    for (int i=0;i<v.size();++i){
        if (v[i].first.deg()==1){
            Num lambda=poly(poly_ele((frac)(0)-v[i].first[0]));
            cout<<"lambda="<<lambda<<endl;
            cout<<"n="<<v[i].second<<endl;//代数重数
            Matrix B=A-lambda*Matrix(A.row,A.col,1);
            vector<Matrix>baseS=baseSolution(B);
            cout<<"m="<<baseS.size()<<endl;//几何重数，几何重数不超过代数重数
            for (int i=0;i<baseS.size();++i){
                cout<<baseS[i]<<endl;
                s.push_back(baseS[i]);
            }
        }
    }
    if (s.size()==A.row){
        Matrix P=s[0];
        for (int i=1;i<s.size();++i){
            P=addHorizontal(P,s[i]);
        }
        cout<<P<<endl;
        cout<<(P^-1)*A*P<<endl;
    }
    else{
        cout<<"Non-similar diagonalization"<<endl;
    }
}
/*
-2 1 1
0 2 0
-4 1 3

1 2 4 
2 4 8
4 8 16

(1,1,-1)*(1,1,2)
1 1 2
1 1 2
-1 -1 -2
*/