数列

二阶线性递推数列

常见的思路是解特征方程，特别注意是否是周期数列，也可以写几项试一下。

$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$

得出 $a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2$ 是以 $-q$ 为公比的等比数列。

也可以写出相邻方程互相抵消，如：

$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n\\ a_{n+2}a_{n}=pa_na_{n+1}+qa_n^2\\ a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1}\\ a^2_{n+1}=pa_na_{n+1}+qa_{n-1}a_{n+1}\\ a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n=-q(a_n^2-a_{n+1a_{n-1}})$

特别关注 $q=-1$ 的情况。

可以关注三角换元。

常见的裂项消元方法

$(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \cdots(1+x^{2^n})=1-x^{2^{n+1}}$

数列的敛散性和极限

如果存在常数 $a \in R$ 满足 $\forall \varepsilon >0,\exists N \in \mathbb{N}$，当 $n>N$，有 $|x_n-a|<\varepsilon$，则称这个数列是收敛的，并称 $a$ 为这个数列的极限。

多项式分式的极限：

$\lim_{x \to \infty} \frac{a_0x^m \cdots}{b_0x^n\cdots}= \left\{ \begin{aligned} &\frac{a_0}{b_0} \quad m=n,\\ &0 \quad m>n,\\ &\infty \quad m<n \end{aligned} \right.$

2016 北大

$3|x|^n+|8y|^n+|z|^n \le 1$，当 $n \to + \infty$ 时的几何体的体积。

不妨观察 $f(x)=a^x$ 的图像，若 $a \to 1^{-},a \to -1^{+}$，则 $\lim _{x\to\infty} a^x \to 0$，说明是可行的，而考虑 $>1,<-1$ 的情形，都是发散的。

说明 $x \in (-1,1),8y \in[-1,1],z \in[-1,1]$（边界不用考虑得那么细）

说明体积是 $2\times \frac{1}{4}\times 2$。