函数

抽象函数

可以尝试常函数 $f(x)=c$。代入特殊值 $m,n=0/1$，也可以转化为数列，这样可以用数列常用技巧，比如相邻方程相减。

双变量方程固定一个变量，转化为单变量。

离散的函数不能直接求导，事实上是要需要离散的算子 $\Delta$。

注意观察方程的形式，有时运用三角函数的公式、指对幂函数的公式、二次函数的公式。

表达式的变形技巧

$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})\\ x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1})\\ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=(a+b+c)\frac{1}{2}(\sum(a-b)^2)$

注意可以配方的项。

齐次方程的处理

首先转化为齐次，然后可以转化为 $a/b$ 的结构，进行换元，或者将分母进行换元（为了更好地配凑均值不等式）

注意也可以将所求的量设成 $t$，然后将 $t$ 视为常量，替换齐次化之后，通过不等式求得 $t$ 的范围（所设即所求）

对称表达式的处理

概念：完全对称、轮换对称。

完全对称可以设全序（$x_1\le x_2 \le x_3 \le \cdots \le x_n$），而轮换对称只能设最值。

二元对称改写为 $x+y,xy$，一定可以化开。