二阶线性递推数列 常见的思路是解特征方程，特别注意是否是周期数列，也可以写几项试一下。 an+2=pan+1+qana_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n an+2​=pan+1​+qan​ 得出 an+2an−an+12a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2an+2​an​−an+12​ 是以 −q-q−q 为公比的等比数列。 也可以写出相邻方程互相抵消，如： an+2=pan+1...

抽象函数 可以尝试常函数 f(x)=cf(x)=cf(x)=c。代入特殊值 m,n=0/1m,n=0/1m,n=0/1，也可以转化为数列，这样可以用数列常用技巧，比如相邻方程相减。 双变量方程固定一个变量，转化为单变量。 离散的函数不能直接求导，事实上是要需要离散的算子 Δ\DeltaΔ。 注意观察方程的形式，有时运用三角函数的公式、指对幂函数的公式、二次函数的公式。 表达式的变形技巧 ...

三角函数 例题 1 2017 北大 (1+cos⁡π5)(1+cos⁡3π5)(1+\cos\frac{\pi}{5})(1+\cos\frac{3\pi}{5})(1+cos5π​)(1+cos53π​) 的值为？ 运用齐次化的思想，我们发现积化和差相当于二次变为一次，和差化积相当于一次变为二次。 那么原式运用积化和差，相当于： 1+cos⁡π5+cos⁡3π5+12(cos⁡4π5+...

积性函数 设整数集合 DDD 满足条件：若 m,n∈Dm,n \in Dm,n∈D，则 mn∈Dmn \in Dmn∈D。定义在集合 DDD 上的数论函数 f(n)f(n)f(n) 称为 积性函数，如果满足 f(mn)=f(m)f(n),(m,n)=1,m,n∈Df(mn)=f(m)f(n),\quad (m,n)=1,m,n\in D f(mn)=f(m)f(n),(m,n)=1,m,n...

大概都是学习中的只言片语…… 概念 最简单的非平凡有穷自动机是两相开关。 形式化命题 求助于定义 借助定义，表达为数学语言。 SSS 是有穷的 ↔\leftrightarrow↔ 存在整数 nnn，使得 ∣∣S∣∣=n||S||=n∣∣S∣∣=n。 带量词的命题 当且仅当命题 表示为 A iff B。符号：A≡BA \equiv BA≡B 和 A↔BA \leftrightarro...

No 9 运用 反向归纳法 证明： P(n):x1⋯xn≤(x1+⋯xnn)n\begin{aligned}P(n):x_1 \cdots x_n \le (\frac{x_1+\cdots x_n}{n})^n\end{aligned} P(n):x1​⋯xn​≤(nx1​+⋯xn​​)n​ 首先证明简单情形： 当 n=2n=2n=2 时，(x1+x2)2−4x1x2=(x1−x2)2≥...

巧妙啊！ 不妨考虑枚举答案，我们不要从小到大枚举，而是从位数之和从小到大枚举。 考虑一个数xxx，x+1x+1x+1为xxx的数位之和+1+1+1，x×10x \times 10x×10数位和不变。 于是我们可以在 mod k\bmod kmodk的意义下计算xxx，将x,x+1x,x+1x,x+1连一条长度为111的边，将x,x×10x,x\times 10x,x×10连一条长度为000的...

考虑g1=gcd(al,al+1,...,ar),g2=gcd(al,al+1,...,ar,ar+1)g_1=gcd(a_l,a_{l+1},...,a_{r}),g_2=gcd(a_l,a_{l+1},...,a_r,a_{r+1})g1​=gcd(al​,al+1​,...,ar​),g2​=gcd(al​,al+1​,...,ar​,ar+1​) 显然有g1g_1g1​为g2g_2g...

传送门 容易想到的是，枚举讨论蔡徐坤的组数，设至少有kkk组讨论蔡徐坤的人方案数是f(k)f(k)f(k)，容斥一下，答案就是∑i=0n/4f(k)×(−1)k\sum _{i=0}^{n/4} f(k) \times (-1)^k∑i=0n/4​f(k)×(−1)k。 现在的主要问题是求出f(k)f(k)f(k)，将讨论蔡徐坤的四个人缩成一个组，所以这样的组数是kkk组，剩下的人数lef...

一个非常有趣的结论： RaneyRaneyRaney引理： 给你一个数列ai(1≤i≤n)\\{a_i\\} (1 \le i \le n)ai​(1≤i≤n)，而且定义Si=∑i=1naiS_i=\sum _{i=1}^n a_iSi​=∑i=1n​ai​，并且Sn=1S_n=1Sn​=1，求证ai\\{a_i\\}ai​的循环排列里面有且仅有一个序列，满足∀i∈[1,n],Si>0...