定义法 f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}f′(x0​)=limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​，只需要求单点导数的时候，用定义更加方便。 这表明了在邻域内，f(x)−f(x0)f(x)-f(x_0)f(x)−f(x0​) 被框定在 (x−x0...

高阶导数 我们经常使用数学归纳法，下面是几个常用的公式。 sin⁡/cos⁡(n)(x)=sin⁡/cos⁡(n)(x+π2n)(ax)(n)=axln⁡na(xa)(n)=a(a−1)⋯(a−n+1)xa−n=n!Canxa−nf(n)(ax)=anf(n)(x)\sin/\cos^{(n)}(x)=\sin/\cos^{(n)}(x+\frac{\pi}{2}n)\\ (a^x)^{(...

定义 存在实数 AAA，∀ε>0,∃δ>0,0<∣x−a∣<δ\forall \varepsilon>0,\exists \delta >0,0<|x-a|<\delta∀ε>0,∃δ>0,0<∣x−a∣<δ 时： ∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε 含...

数列的极限 数列极限的定义 例题 lim⁡n→+∞[12n3+22n3+⋯+(n−1)2n3]\lim_{n \to +\infty} [\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\cdots+\frac{(n-1)^2}{n^3}] n→+∞lim​[n312​+n322​+⋯+n3(n−1)2​] 易知是 1/31/31/3，如果计准确值为 f(n)f(n)f...

函数 函数的概念 例题 开区间 (0,1)(0,1)(0,1) 与闭区间 [0,1][0,1][0,1] 之间存在双射。 例如： f(x)={x,x≠12n,n∈N0,x=12,x∈(0,1)12n−2,x=12n(n≥2)f(x)= \left\{ \begin{aligned} &x,x\not=\frac{1}{2^n},n \in \mathbb{N}\\ &...

实数集 有理数集和实数集-数学归纳法 例题 设 a[n]=a(a−h)⋯[a−(n−1)h]a^{[n]}=a(a-h)\cdots[a-(n-1)h]a[n]=a(a−h)⋯[a−(n−1)h]，以及 a[0]=1a^{[0]}=1a[0]=1，可用数学归纳法证明： (a+b)[n]=∑m=0nCnma[n−m]b[m](a+b)^{[n]}=\sum_{m=0}^n C_n^m a...