2012 T3 1EquivInf(upoly("x")*Integral(Sin(Sin("x")*Sin("x"))*Deriv(Sin("x")))) 输出 11/3x^4 T17 123456789#include "poly.h"#define Num poly#include...

1EquivInf(Exp("-1/2x^2")-Cos("x")) 求 e−12x2−cos⁡xe^{-\frac{1}{2}x^2}-\cos xe−21​x2−cosx 的等价无穷小。 1EquivInf(Ln("1+x+x^2")+Ln("1-x+x^2")) 求 ln⁡(1+x+x2)+ln⁡(1−x+...

平面图形的面积 A=∫ab[f(x)−g(x)]dxA=\int_{a}^b [f(x)-g(x)]\mathrm d x A=∫ab​[f(x)−g(x)]dx 参数方程： A=∫abydx=∫aby(t)x′(t)dtA=\int_a^b y\mathrm dx=\int_a^b y(t)x'(t)\mathrm d t A=∫ab​ydx=∫ab​y(t)x′(t)dt 例...

变量代换的技巧 第一是观察函数的结构，比如出现 f(x2)f(x^2)f(x2) 则令 u=x2u=x^2u=x2。 第二是观察积分的上下限，比如出现 \int_0^\sqrt{T}，则令 u=x2u=x^2u=x2。 求： lim⁡x→0∫0xtf(x2−t2)dtx4\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x t f(x^2-t^2)\mathrm d t}{x^4}...

换元法：注意改变积分的上下限。 分部积分法。 不一样的是，定积分对变量的范围做出了限制，而不定积分只要对任意一个小区间都成立即可。所以，需要关注： 定义域，值域，例如三角函数加绝对值等。 一些特有的性质，例如奇偶性、周期性。 证明： ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx\int_a^{a+T} f(x)\mathrm d x=\int_0^T f(x) \mathrm d x ∫a...

一些经常用到的原函数 sec⁡2x⇒tan⁡x,csc⁡2x⇒−cot⁡x\sec^2 x \Rightarrow \tan x,\csc^2 x\Rightarrow -\cot x sec2x⇒tanx,csc2x⇒−cotx xx2+a⇒x2+a\frac{x}{\sqrt{x^2+a}} \Rightarrow \sqrt{x^2+a} x2+a​x​⇒x2+a​ 一些需要记忆的...

原函数 I∈Df,∃F(x),s.t.∀x∈I,F′(x)=f(x)I \in D_f,\exists F(x),s.t. \forall x \in I,F'(x)=f(x)I∈Df​,∃F(x),s.t.∀x∈I,F′(x)=f(x) 称 F(x)F(x)F(x) 是 f(x)f(x)f(x) 在 III 上的一个原函数。由罗尔定理的推论，我们知道如果 F(x)F(x)F(x...

定积分的概念 黎曼可积 ∫abf(x)dx=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi=I\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{d} x= \lim_{\lambda \to 0} \sum _{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i=I ∫ab​f(x)dx=λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​=I 注意点 分划的范数 λ=max⁡1≤i≤n(xi...

有理数、无理数分类，狄利克雷函数。 f(x)=1,x∈Q;−1,x∈R/Qf(x)=1,x\in Q;-1,x\in R/Q f(x)=1,x∈Q;−1,x∈R/Q f(x)f(x)f(x) 在任何一点都不连续，不可导。但是 f(f(x)),∣f(x)∣,f2(x)f(f(x)),|f(x)|,f^2(x)f(f(x)),∣f(x)∣,f2(x) 都是连续可导的。如果给你一个 g(x)g...

若 f(f(x))f(f(x))f(f(x)) 存在唯一不动点，则 f(x)f(x)f(x) 也存在唯一不动点。 fff 在 R 上连续，证明 f(x)f(x)f(x) 严格单调与 f(f(x))f(f(x))f(f(x)) 严格单调等价。 首先容易推出 f(x)f(x)f(x) 严格单调 f(a)</>f(b),f(f(a))<f(f(b))f(a)</&g...